Latihan Soal UN 2020

Diketahui premis-premis:
(1) Tuti tidak mempunyai keberanian atau ia akan menang.
(2) Tuti tidak akan menang

kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah ... a. Tuti mempunyai keberanian
b. Tuti tidak mempunyai keberanian
c. Tuti takut
d. Tuti tidak takut
e. Tuti tidak percaya diri
Jawab

misalkan   p: Tuti mempunyai keberanian
  q: Tuti tidak akan menang

maka premis-premis tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut:

${\begin{array}{ccccccccccccccc} {\neg p \vee q}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\neg q} \end{array}}$    $\approx \begin{array}{ccccccccccccccc} {p \Rightarrow q}\\ {\neg q} \end{array}$    $\approx$    $\frac{{\begin{array}{ccccccccccccccc} {\neg q \Rightarrow \neg p}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\neg q} \end{array}}}{{\therefore \neg p}}$ (modus tolens)
maka kesimpulan yang sah dari premis tersebt adalah Tuti tidak mempunyai keberanian
Pernyataan "jika semua guru tidak mengajar,maka beberapa siswa gembira" setara dengan ...
a. Beberapa guru mengajar atau beberapa siswa gembira dan
semua guru mengajar.
b. Beberapa siswa gembira dan semua guru mengajar
c. Beberapa guru mengajar atau semua siswa gembira
d. Semua siswa tidak gembra atau semua guru tidak
mengajar
e. Semua guru tidak gembira dan ada guru yang mengajar

Jawab
Misalkan p: Semua guru tidak mengajar
  q: Beberapa siswa gembira

sifat kesetaraan    ${p \Rightarrow q}$ ${ \approx \neg p \vee q}$

   ${\neg p}$ : beberapa guru mengajar
q : beberapa siswa gembira

maka pernyataan tersebut setara adalah:
"beberapa guru mengajar atau beberapa siswa gembira"
Bentuk sederhana dari ${\left( {\frac{{3{x^{\frac{3}{2}}} \cdot {y^{ - \frac{4}{3}}} \cdot {z^{ - \frac{4}{5}}}}}{{2{x^{ - \frac{7}{2}}} \cdot {y^{ - \frac{1}{3}}} \cdot {z^{\frac{6}{5}}}}}} \right)^2}$   adalah ...
a.   ${\frac{{3{x^2}}}{{2{y^{}} \cdot {z^2}}}}$ b. ${\frac{{9{x^5}}}{{4{y^{}} \cdot {z^2}}}}$    c.   ${\frac{{3{x^5}}}{{2{y^{}} \cdot {z^2}}}}$    d.    ${\frac{{9{x^{10}} \cdot y}}{{4{z^2}}}}$ e. ${\frac{{9{x^{10}}}}{{4{y^2} \cdot {z^2}}}}$
jawab
${\frac{{3{x^{\frac{3}{2}}} \cdot {y^{ - \frac{4}{3}}} \cdot {z^{ - \frac{4}{5}}}}}{{2{x^{ - \frac{7}{2}}} \cdot {y^{ - \frac{1}{3}}} \cdot {z^{\frac{6}{5}}}}}}$ = $\frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{3}{2} - \left( { - \frac{7}{2}} \right)}} \cdot {y^{ - \frac{4}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right)}} \cdot {z^{ - \frac{4}{5} - \left( {\frac{6}{5}} \right)}}$ = ${\frac{3}{2} \cdot {x^{\frac{{10}}{2}}} \cdot {y^{ - \frac{3}{3}}} \cdot {z^{ - \frac{{10}}{5}}}}$
= ${\frac{3}{2} \cdot {x^5} \cdot {y^{ - 1}} \cdot {z^{ - 2}}}$

${\left( {\frac{{3{x^{\frac{3}{2}}} \cdot {y^{ - \frac{4}{3}}} \cdot {z^{ - \frac{4}{5}}}}}{{2{x^{ - \frac{7}{2}}} \cdot {y^{ - \frac{1}{3}}} \cdot {z^{\frac{6}{5}}}}}} \right)^2}$ =   ${\left( {\frac{3}{2} \cdot {x^5} \cdot {y^{ - 1}} \cdot {z^{ - 2}}} \right)^2}$    = ${\left( {\frac{{3 \cdot {x^5}}}{{2 \cdot {y^{}}{z^2}}} \cdot } \right)^2}$   = ${\frac{{9 \cdot {x^{10}}}}{{4 \cdot {y^2}{z^4}}}}$
Bentuk sederhana dari $\frac{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}$    adalah...

a. $2\left( {\sqrt 5 - 2} \right)$ b. $\left( {\sqrt 5 - 2} \right)$    c. $\frac{1}{2}\left( {\sqrt 5 - 2} \right)$    d. $\frac{1}{4}\left( {\sqrt 5 - 2} \right)$    e. $- \left( {\sqrt 5 - 2} \right)$

  Jawab
   $\frac{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}$        $= \frac{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} \times \frac{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}$       $= \frac{{\left( {3 - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} \times \frac{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}$     $= \frac{{1.\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\left( {5 - 4} \right)}}$    $= \left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)$
Hasil $\frac{{{}^6\log \sqrt 5 \cdot {}^{25}\log 36 + {}^7\log \frac{1}{{49}}}}{{2\log 4\sqrt 2 + {}^2\log 16}}$    adalah ...

a.   $- \frac{3}{{13}}$ b.   $- \frac{{39}}{4}$ c.   $- \frac{{13}}{4}$ d.   $- \frac{1}{{13}}$ e. $- \frac{1}{{26}}$

Jawab

$\frac{{^6\log \sqrt 5 { \cdot ^{25}}\log 36{ + ^7}\log \frac{1}{{49}}}}{{{}^2\log 4\sqrt 2 { + ^2}\log 16}}$    $= \frac{{\frac{1}{2}{ \cdot ^6}\log {5^{}} \cdot \left( {\frac{2}{2}} \right){ \cdot ^5}\log 6 - 2{ \cdot ^7}\log 7}}{{{}^2\log \left( {{2^{\frac{5}{2}}} \cdot {2^4}} \right)}}$    $= \frac{{\frac{1}{2}{ \cdot ^6}\log 6 - 2 \cdot 1}}{{{}^2\log \left( {{2^{\frac{{13}}{2}}}} \right)}}$

$= \frac{{\frac{1}{2} \cdot 1 - 2}}{{\frac{{13}}{2} \cdot {}^2\log 2}}$    $= \frac{{\frac{1}{2} - 2}}{{\frac{{13}}{2} \cdot 1}}$    $= - \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{{13}}{2}}}$    $= - \frac{3}{{13}}$
Persamaan kuadrat ${x^2} - 5x + 7 = 0$ akar-akarnya adalah $\alpha$ dan $\beta$ . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\alpha + 3$ dan $\beta + 3$ adalah ...
a. ${x^2} - 11x + 31 = 0$
b. ${x^2} + x + 13 = 0$
c. ${x^2} - 2x + 10 = 0$
d. ${x^2} - 11x - 31 = 0$
e. ${x^2} + 11x + 31 = 0$

jawab
Persamaan kuadrat yang baru adalah ${x^2} - ({x_1} + {x_2})x + {x_1} \cdot {x_2}$ = ${x^2} - (\alpha + 3 + \beta + 3)x + \left( {\alpha + 3} \right) \cdot \left( {\beta + 3} \right)$
= ${x^2} - (\alpha + \beta + 6)x + \left( {\alpha \beta + 3(\alpha + \beta ) + 9} \right)$
= ${x^2} - ( - \frac{b}{a} + 6)x + \left( {\frac{c}{a} + 3( - \frac{b}{a}) + 9} \right)$
= ${x^2} - ( - \frac{{ - 5}}{1} + 6)x + \left( {\frac{7}{1} + 3( - \frac{{ - 5}}{1}) + 9} \right)$
= ${x^2} - 11x + 31$
Persamaan kuadrat ${x^2} - 6px - 2x + 14p + 21 = 0$ mempunyai dua akar real. Batasan nilai p yang memenuhi adalah ...
a. $p \le \frac{{10}}{9}\,\,\,atau\,\,\,p \ge 2$
b. $- 2 \le p \le \frac{{10}}{9}$
c. $p \ge \frac{{10}}{9}\,\,\,atau\,\,\,p \le - 2$
d. $p \le - \frac{{10}}{9}\,\,\,atau\,\,\,p \ge 2$
e. $- \frac{{10}}{9} \le p \le - 2$

jawab
${x^2} - 6px - 2x + 14p + 21 = 0$
${x^2} - (6p + 2)x + 14p + 21 = 0$ => $a = 1,\,\,b = - (6p + 2),\,\,c = (14p + 21)$

syarat persamaan kuadrat mempunyai dua akare real adalah
$D = {b^2} - 4ac \ge 0$
$= {\left( { - \left( {6p + 2} \right)} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {14p + 21} \right) \ge 0$
   $36{p^2} + 24p + 4 - 56p - 84 \ge 0$
$36{p^2} - 32p - 80 \ge 0$
   $9{p^2} - 8p - 20 \ge 0$ $(9p + 10)(p - 2) \ge 0$



syarat tersebut terpenuhi bila $p \le - \frac{{10}}{9}\,\,\,atau\,\,\,p \ge 2$
Adi, Budi Cici dan Dedi pergi ke toko koperasi sekolahnya membeli buku tulis, pena dan pensil dengan merek yang sama.
Adi membeli 3 buku tulis, 1 pena dan 2 pensil dengan harga Rp, 22,000,00
Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena dan 1 pensil dengan harga Rp, 28,000,00
Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena dan 3 pensil dengan harga Rp, 22,000,00
Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena dan 1 pensil, maka ia harus membayar ...
a. Rp. 14.000,00 c. Rp. 20.000,00 e. Rp. 16.000,00
b. Rp 18.000,00 d. Rp.17.000,00

Jawab
Misalkan x : banyaknya buku
y : banyaknya buku
z : banyaknya buku

sistem persamaan yang dapat dibentuk:
1. $3x + y + 2z = 22.000$
2. $2x + 3y + z = 28.000$
3. $x + 2y + 3z = 22.000$

fungsi hasil $f(x,y,z) = x + y + z$

Dengan mengeliminai persamaan 1 dan 2 diperoleh
$3x + y + 2z = 22.000$    $3x + y + 2z = 22.000$
$2x + 3y + z = 28.000\,\,\,\,\,\,\,\,( \times 2)$ $\Rightarrow$     $4x + 6y + 2z = 56.000$ _____________-
$x + 5y = 34.000$ persamaan 4

Dengan mengeliminai persamaan 2 dan 3 diperoleh
$2x + 3y + z = 28.000$     $( \times 3)$    $\Rightarrow$ $6x + 9y + 3z = 84.000$
$x + 2y + 3z = 22.000$    $x + 2y + 3z = 22.000$
   -
   $5x + 7y = 62.000$ persamaan 5

dari persamaan 4 dan 5 diperoleh
$x + 5y = 34.000\,\,\,\,\,\,\,\,\left( { \times 5} \right)$    $\Rightarrow$    $5x + 25y = 170.000$
$5x + 7y = 62.000$    $5x + 7y = 62.000$
   -
$18y = 108.000$    $\Rightarrow$    $y = 6.000$

dengan mensubtitusikan nilai y ke persamaan 4 diperoleh
$x + 5 \cdot 6.000 = 34.000$
$x + 30.000 = 34.000\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = 4.000$

dengan mensubtitusikan nilai x dan y ke persamaan 2 diperoleh
$2x + 3y + z = 28.000$
$2 \cdot 4.000 + 3 \cdot 6.000 + z = 28.000$
$6.000 + z = 28.000\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,z = 2.000$

maka untuk 1 buku, 1 pena dan 1 pensil
$f(x,y,z) = 2x + y + z$    $= 2 \cdot 4.000 + 6.000 + 2.000 = 16.000$
Persamaan lingkaran yang berpusat di (-2,3) dan menyinggung garis x - 2y - 7 = 0 adalah ...
  a.   ${x^2} + {y^2} + 2x - 3y - 4 = 0$ d.   ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 32 = 0$
b.   ${x^2} + {y^2} - 2x + 3y + 4 = 0\,$ e.   ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 32 = 0$
c.   ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9 = 0$

Jawab:
garis singgung lingkaran  x - 2y - 7 = 0 =>    $y = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2}$ .....(i)

cara I mencari R melalui  dalil persamaan garis singgung
lingkaran

   $y - \beta = m(x - \alpha ) \pm R\sqrt {{m^2} + 1}$
   $y - 3 = m(x + 2) \pm R\sqrt {{m^2} + 1}$
   $y = mx + 2m \pm R\sqrt {{m^2} + 1} + 3$ ....................(ii)

dengan memperhatikan (i) dan (ii) maka

$m = \frac{1}{2}$ dan    $- \frac{7}{2} = 2m \pm R\sqrt {{m^2} + 1} + 3$

$- \frac{7}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} \pm R\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 1} + 3$

$- 7 = 2 \pm 2R\sqrt {\frac{1}{4} + 1} + 6$

$- 7 = 8 \pm 2R\sqrt {\frac{5}{4}}$

   $\pm 2R\sqrt {\frac{5}{4}} = - 15$

   $4{R^2} \cdot \frac{5}{4} = 225$

   $5{R^2} = 225$

   ${R^2} = 45$
Cara 2: menentukan R dengan menggunakan rumus jarak titik
pusat lingkaran P ke garis singgungnya

jarak titik pusat (-2,3) ke garis singgung x - 2 y - 7 = 0
      $r = \left| {\frac{{\alpha \cdot x + \beta \cdot y + c}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right|$     $= \left| {\frac{{ - 2 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 7} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}} \right|$    $= \left| {\frac{{ - 2 - 6 - 7}}{{\sqrt 5 }}} \right|$

$= \left| {\frac{{ - 15}}{{\sqrt 5 }}} \right| = 3\sqrt 5$

   ${r^2} = {\left( {3\sqrt 5 } \right)^2} = 45$
Persamaan lingkaran yang berpusat (-2,3) dan menyinggung garis x - 2y - 7 = 0

   ${(x - \alpha )^2} + {(y - \beta )^2} = {R^2}$

   ${(x + 2)^2} + {(y - 3)^2} = 45$

   ${x^2} + 4x + 4 + {y^2} - 6y + 9 = 45$

   ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 32 = 0$
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 3 = 0$   yang tegak lurus dengan x + 3y + 2 = 0 adalah ...
a. 3x - y + 1 = 0 d. 3x - y - 1 = 0
b. 3x - 3y + 7 = 0 e. 3x - y - 13 = 0
c. 3x - y + 19 = 0

Jawab
gradien garis x + 3y + 2 = 0 adalah   $m = - \frac{1}{3}$ . Dengan demikian gradien garis g yang menyinggung lingkaran dan tegak lurus dengan garis x + 3y + 2 = 0 adalah   ${m_g} = - \frac{1}{m} = 3$
Karena untuk persamaan   ${x^2} + {y^2} + Ax + By + C = 0$ , titik pusat lingkaran      $(\alpha ,\beta ) = \left( { - \frac{1}{2}A, - \frac{1}{2}B} \right)$

$= \left( { - \frac{1}{2} \cdot \left( { - 4} \right), - \frac{1}{2} \cdot 6} \right)$

$R = \sqrt {C - (\alpha + b)}$

   $= \sqrt {3 - (2 + - 3)}$

   $= \sqrt 4 = 2$

maka titik pusat lingkaran ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 3 = 0$ adalah (2,-3)

jari-jari lingkaran

   $R = \sqrt {({\alpha ^2} + {b^2}) - C}$

   $= \sqrt {({2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}) - 3}$

   $= \sqrt {10}$

dengan demikian persamaan garis singgung diperoleh
   $y - \beta = m(x - \alpha ) \pm R\sqrt {{m^2} + 1}$

   $y + 3 = 3(x - 2) \pm \sqrt {10} \cdot \sqrt {{3^2} + 1}$

    $y = 3x - 3 \pm 10$

   $y = 3x + 7$   atau     $y = 3x - 13$
Suku banyak $P(x) = {x^3} + 2{x^2} + px + q$   jika dibagi dengan   $\left( {{x^2} - x - 2} \right)$ mempunyai sisa ( 3x - 1 ). Nilai ( p - q ) adalah ...
a. -8 b. -9 c. -5 d. 5 e. 9

Jawab
pembagi  B(x) = $\left( {{x^2} - x - 2} \right)$ $= (x - 2)(x + 1)$

Bila H(x) adalah fungsi hasil dan S(x) adalah fungsi sisa pembagian , maka dalil hasil bagi menyatakan:

P(x) = B(x) . H(x) + S(x)

dan Bila x = a adalah akar-akar dari B(x), maka
P(a) = S(a)

dengan demikian diperoleh
$P( - 1) = {\left( { - 1} \right)^3} + 2{\left( { - 1} \right)^2} + p\left( { - 1} \right) + q = 3\left( { - 1} \right) - 1$
    $- 1 + 2 - p + q = - 3 - 1$
    $- p + q = - 5$   ..................(i)

   $P(2) = {2^3} + 2 \cdot {2^2} + p \cdot 2 + q = 3 \cdot 2 - 1$
   $8 + 8 + 2p + q = 6 - 1$
$2p + q = 5$ .................(ii)

dengan mengeliminasi persamaan (i) dan (ii) maka diperoleh

-p + q = -5
  2p + q = 5
3p = 10   =>    $p = \frac{{10}}{3}$

-p + q = -5

$- \frac{{10}}{3} + q = - 5$ =>    $q = - 5 + \frac{{10}}{3} = - \frac{5}{3}$

dengan demikan
    $p - q = \frac{{10}}{3} - \left( { - \frac{5}{3}} \right) = \frac{{15}}{3} = 5$
Salah satu faktor persamaan suku banyak $2{x^3} - 5{x^2} - px + 3 = 0$ adalah ( x + 1 ) . faktor yang lain dari persamaan suku banyak itu adalah ...
a. x + 2 dan 2x - 1
b. 2x - 1 dan x - 3
c. x + 3 dan x + 2
d. 2x + 1 dan x - 2
e. x - 2 dan x - 3

jawab
cara menentukan faktor lain adalah dengan membaginya menurut aturan pembagian biasa seperti di bawah ini

dengan demikian faktor yang lain adalah $2{x^2} - 7x + 3$
$2{x^2} - 7x - (p - 7)$
$2{x^2} - 7x - (4 - 7)$
$(2x - 1)(x - 3)$
Diketahui $f(x) = {x^2} - 4x + 6$ dan g(x) = 2x +3. Fungsi komposisi
(f o g) = ...?
a. $4{x^2} + 4x + 15$
b. $2{x^2} - 8x + 15$
c. $2{x^2} - 8x + 12$
d. $4{x^2} + 4x + 3$
e. $4{x^2} + 4x + 27$

Jawab:

$\left( {f\,o\,g} \right)(x) = f\left( {g(x)} \right)$

$= {\left( {2x + 3} \right)^2} - 4\left( {2x + 3} \right) + 6$

$= 4{x^2} + 12x + 9 - 8x - 12 + 6$

$= 4{x^2} + 4x + 3$
Seorang pedagang kue akan menjual dua jenis kue. Harga setiap kue A Rp. 3.000,00 dan dijual memperoleh keuntungan Rp. 1.000,00/ buah, sedangkan harga kue B adalah Rp. 4.000,00 dan dijual memperoleh keuntungan Rp. 1.500/buah. Modal yang tersedia adalah Rp. 1.700,00 dan paling banyak hanya menjual 500 kue setiap hari. Jika kue tersebut terjual habis, maka keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang kue tersebut adalah ...
a. Rp. 700.000,00
b. Rp. 650.000,00
c. Rp. 600.000,00
d. Rp. 500.000,00
e. Rp. 750.000,00

jawab
misalkan x : banyaknya kue A
y : banyaknya kue B

Modal kue A = 3000 - 1000 = 2000
Modal Kue B = 4000 -1500 = 2500

fungsi kendala
(i) fungsi harga     $2000x + 2500y \le 170000$ $\Leftrightarrow$    $4x + 5y \le 3400$
(ii) fungsi jumlah kue     $x + y \le 500$
(iii) fungsi keuntungan    $f(x,y) = 1000x + 1500y$
$x \ge 0,\,\,y \ge 0$ Dengan mengeliminasi persamaan (i) dan (ii) diperoleh
$4x + 5y = 3400$ $( \times 1)$    $\Leftrightarrow$     $4x + 5y = 3400$
   $x + y = 500$        $\,( \times 4)$    $\Leftrightarrow$ $4x + 4y = 2500$
    -
y = 900

subtitusi nilai y  ke persamaan (ii) diperoleh x = -400

gambar grafik

Dengan demikian keuntungan penjualan

   $f(x,y) = 1000x + 1500y$

   $f(500,0) = 1000 \cdot 500 + 1500 \cdot 0 = 500.000$

   $f(0,500) = 1000 \cdot 0 + 1500 \cdot 500 = 750.000$
jadi keuntungan maksimum yang didapat Rp. 750.000
Diketahui matriks $A = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} { - 2}&x\\ 6&3 \end{array}} \right)$   ,   $B = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} { - 5}&{14}\\ y&{ - 2} \end{array}} \right)$ , dan   $C = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} z&{ - 1}\\ 1&5 \end{array}} \right)$ . Jika A  - B = C maka x + y + z = ....

Jawab

$\,\,\,\,\,\,\,\,A\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\,\,C$

   $\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} { - 2}&x\\ 6&3 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} { - 5}&{14}\\ y&{ - 2} \end{array}} \right)$    $= \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} z&{ - 1}\\ 1&5 \end{array}} \right)$

$\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} { - 2 - \left( { - 5} \right)}&{x - 14}\\ {6 - y}&{3 - ( - 2)} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} z&{ - 1}\\ 1&5 \end{array}} \right)$

   $\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 3&{x - 14}\\ {6 - y}&5 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} z&{ - 1}\\ 1&5 \end{array}} \right)$

x - 14 = -1 =>   x = 13
6 - y  = 1 =>   y = 5
z = 3

jadi x + y + z = 13 + 5 + 3 =21
Diketahui vektor $a = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} p\\ 2\\ 1 \end{array}} \right)$ , $b = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 4\\ { - 3}\\ 6 \end{array}} \right)$ , $c = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 2\\ { - 1}\\ 3 \end{array}} \right)$ . Jika a tegak lurus b maka hasil 2a - b + c adalah ...
a. 3i + 4j - 4k
b. 4i + 4j - 5k
c. 3i + 6j - 4k
d. 3i + 4j - 5k
e. 4i + 6j - 5k
Jawab

c = a . b cos x

syarat dua vektor a dan b tegak lurus jika a . b = 0, maka
$a \cdot b$ $= \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} p\\ 2\\ { - 1} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 4\\ { - 3}\\ 6 \end{array}} \right)$ $= 4p + 2 \cdot ( - 3) + ( - 1) \cdot 6$

$= 4p - 6 - 6 = 0$ $\Leftrightarrow$ $p = 3$

dengan demikian
$2a - b + c =$ $2\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 3\\ 2\\ { - 1} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 4\\ { - 3}\\ 6 \end{array}} \right)$ $+ \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 2\\ { - 1}\\ 3 \end{array}} \right)$ $= \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {6 - 4 + 2}\\ {4 + 3 - 1}\\ { - 2 - 6 + 3} \end{array}} \right)$ $= \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 4\\ 6\\ { - 5} \end{array}} \right)$
Diketahui | a | = 3; | b | = 3; | a + b | = 7. Jika $\theta$ adalah sudut antara vektor a dan b maka nilai sin $\theta$ adalah ...
a. 1 b. 2/3 c. 1/2 d. 0 e. 1/3

jawab

${\left| {a + b} \right|^2} = {\left| a \right|^2} + {\left| b \right|^2} + 2 \cdot \left| a \right| \cdot \left| b \right| \cdot \cos \theta$

$\,\,\,\,\,{7^2}\,\,\,\,\,\, = \,{3^2} + {4^2} + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos \theta$

$\,\,\,\,49\,\,\,\,\,\,\, = 9 + 16 + 24 \cdot \cos \theta$

$\cos \theta = \frac{{24}}{{24}} = 1$ $\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\sin \theta = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\theta } = \sqrt {1 - {1^2}} = 0$

Diketahui vekor u = 3i - pj - 4k dan u = 3i - pj - 4k. Jika panjang proyeksi vektor u pada v adalah 6, maka nilai p adalah ...
a. -4 b. -6 c. -5 d. -10 e. -8
jawab:
Panjang proyeksi vektor u pada v dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

|p| = |u| cos x
karena   $\cos x = \frac{{u \cdot v}}{{\left| u \right| \cdot \left| v \right|}}$ , maka

   $\left| p \right| = \left| u \right|\frac{{u \cdot v}}{{\left| u \right| \cdot \left| v \right|}}$

$\left| 6 \right| = \left| {\sqrt {{3^2} + {{( - p)}^2} + {{( - 4)}^2}} } \right|$    $\frac{{3 \cdot 2 + ( - p) \cdot 6 + ( - 4).( - 3)}}{{\left| {\sqrt {{3^2} + {{( - p)}^2} + {{( - 4)}^2}} } \right| \cdot \left| {\sqrt {{2^2} + {6^2} + {{( - 3)}^2}} } \right|}}$

$\left| 6 \right| = \frac{{6 - 6p + 12}}{{ \cdot \left| {\sqrt {4 + 36 + 9} } \right|}}$     $\Rightarrow$ $6 = \frac{{18 - 6p}}{{ \cdot \left| {\sqrt {49} } \right|}}$     $\Rightarrow$     $6 \cdot 7 = 18 - 6p$    $\Rightarrow$   p = - 4

Pada transformasi pencerminan terhadap garis y = x  dilanjutkan dengan rotasi pusat O (0,0) sebesar berlawanan dengan arah jarum jam. Bayangan dari garis 2x - 3y - 1 = 0 mempunyai persamaan ....
a. 2x - 3y + 1 = 0
b. 3x + 2y - 1 = 0
c. 2x + 3y - 1 = 0
d. 3x + 2y + 1 = 0
e. 2x + 3y - 1 = 0

jawab
   $\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x'}\\ {y'} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\cos {{90}^0}}&{ - sin{{90}^0}}\\ {\sin {{90}^0}}&{\cos {{90}^0}} \end{array}} \right)$    $\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} x\\ y \end{array}} \right)$

$\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x'}\\ {y'} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&{ - 1}\\ 1&0 \end{array}} \right)$     $\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 2\\ { - 3} \end{array}} \right)$

   $\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x'}\\ {y'} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&{ - 1}\\ 1&0 \end{array}} \right)$    $\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} { - 3}\\ 2 \end{array}} \right)$

$\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {x'}\\ {y'} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} { - 2}\\ { - 3} \end{array}} \right)$

jadi bayangannya adalah -2x -3y - 1 = 0 atau 2x + 3y + 1 = 0

Penyelesaian dari ${}^{\frac{1}{2}}\log ({x^2} - 3x + 2) < {}^{\frac{1}{2}}\log (10 - x)$    adalah ...
a. 2 < x < 10 atau x < -2
b. -2 < x < 10 atau x > 10
c. 4 < x < 10 atau x < -2
d. 2 < x < 10 atau -2 < x < 1
e. x > 10 atau x < 2

Jawab
syarat 1 :
10 - x > 0 berakibat   x < 10

syarat 2 :
   ${x^2} - 3x + 2 > 0$
$(x - 2)(x - 1) > 0$    dipenuhi bila x < 1 atau x > 2

syarat 3: untuk   ${}^a\log (f(x)) < {}^a\log (g(x))$     maka f (x) > g (x) bila 0 < a < 1
oleh karena basis keduanya adalah    $\frac{1}{2}$ (0 < x < 1) maka
f (x) > g (x)
${}^{\frac{1}{2}}\log ({x^2} - 3x + 2) < {}^{\frac{1}{2}}\log (10 - x)$
    ${x^2} - 3x + 2 > 10 - x$
    ${x^2} - 3x + 2 - \left( {10 - x} \right) > 0$
    ${x^2} - 2x - 8 > 0$
   $(x - 4)(x + 2) > 0$    dipenuhi bila x <-2 atau x > 4

Maka penyelesaiannua x < -2 atau 4 < x < 10

Jika diketahui fungsi $xyz = {2^6}$ dan $\left( {{}^2\log x} \right) \cdot \left( {{}^2\log yz} \right) + \left( {{}^2\log y} \right) \cdot \left( {{}^2\log \,z} \right) = 10$ untuk $x,y,z \ge 0$ , maka
$\sqrt {{}^2{{\log }^2}x + {}^2{{\log }^2}y + {}^2{{\log }^2}z} =$ ,,,

jawab:
   $xyz = {2^6}$
${}^2\log xyz = {}^2\log {2^6} = 6 \cdot {}^2\log 2 = 6$
${}^2\log (xyz) = {}^2\log x + {}^2\log y + {}^2\log z = 6$

misal
   $a = {}^2\log x,\,\,b = {}^2\log y,\,\,c = {}^2\log z$
${}^2\log (xyz) =$ ${}^2\log x + {}^2\log y + {}^2\log z$ $= a + b + c$ = 6

$\left( {{}^2\log x} \right) \cdot \left( {{}^2\log yz} \right) + \left( {{}^2\log y} \right) \cdot \left( {{}^2\log \,z} \right) = 10$
$\left( {{}^2\log x} \right)\left( {{}^2\log y + {}^2\log z} \right) + \left( {{}^2\log y} \right) \cdot \left( {{}^2\log \,z} \right) = 10$
$\left( {{}^2\log x} \right)\left( {{}^2\log y} \right) + \left( {{}^2\log x} \right)\left( {{}^2\log z} \right) + \left( {{}^2\log y} \right) \cdot \left( {{}^2\log \,z} \right) = 10$
ab + ac + bc = 10

${{}^2{{\log }^2}x + {}^2{{\log }^2}y + {}^2{{\log }^2}z}$ = ${a^2} + {b^2} + {c^2}$

${(a + b + c)^2} = ({a^2} + {b^2} + {c^2}) + 2(ab + ac + bc)$
   ${6^2}$    = $({a^2} + {b^2} + {c^2}) + 2 \cdot 10$
36 - 20   $= ({a^2} + {b^2} + {c^2})$
16   $= ({a^2} + {b^2} + {c^2})$
4 = $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

jadi   $\sqrt {{}^2{{\log }^2}x + {}^2{{\log }^2}y + {}^2{{\log }^2}z} =$ 4

Diketahui suku ke 3 dan suku ke 8 barisan aritmatika berturut-turut adalah 2 dan -13. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah ...
a. - 380 b. - 490 c. = - 440 d. - 410 e. - 580

jawab

${u_1} = a,\,{u_3} = a + 2b = 2$ , ${u_8} = a + 7b = - 13\,$

dengan mengeliminasi suku ke 3 dan ke 8 diperoleh

${u_3} = a + 2b = 2$

${u_8} = a + 7b = - 13\,$
-

- 5b = 15
b = -3 => a + 2b = 2
a + 2.-3 = 2
a - 6 = 2 => a = 8

Maka jumlah 20 deret pertama:

${S_n} = \frac{n}{2}\left( {2a + (n - 1)b} \right)$

${S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2 \cdot 8 + (20 - 1)\left( { - 3} \right)} \right)$

= 10(16-57) = - 410

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 6 m dan memantul kembali dengan 3/4 kali tinggi semula. Panjang lintasan gerak bola sampai berhenti adalah ….|
a. 18 m b. 42 m c. 36 m d. 24 m e. 48 m

jawab

${U_{1,turun}} = {a_{turun}} = 6 \cdot ,\,\,\,{r_{turun}} = \frac{3}{4}$ dan ${U_{1,naik}} = {a_{naik}} = 6 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{2},\,\,\,{r_{naik}} = \frac{3}{4}$

panjang lintasan turun ${S_{\infty ,turun}} = \frac{{{a_{turun}}}}{{1 - {r_{turun}}}} = \frac{6}{{1 - \frac{3}{4}}} = 6 \cdot 4 = 24$
pamjang lintasan naik ${S_{\infty ,naik}} = \frac{{{a_{naik}}}}{{1 - {r_{naik}}}} = \frac{{\frac{9}{2}}}{{1 - \frac{3}{4}}} = \frac{9}{2} \cdot 4 = 18$

jumlah total lintasan = 24 + 18 = 42 m

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jika K berada di tengah-tengah CG, maka jarak titik H ke BK adalah …
a. $3\sqrt 5$ b. $\frac{5}{6}\sqrt {30}$ c. $\sqrt {30}$ d. $3\sqrt 3$ e. $3\sqrt 2$

Jawab

Perhatikan bahwa HK terletak pada bidang CDGH dan BK terletak pada bidang BCGF. Bidang CDGH dan BCGF saling tegak lurus. Dengan demikian jarak titik H adalah panjang garis HK.

$HK = \sqrt {G{K^2} + H{G^2}}$ $= \sqrt {{3^2} + {6^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5$ cm

Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Sinus sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah ….
a. $\frac{1}{2}\sqrt 2$ b. $\frac{1}{3}$ c. $\frac{2}{3}\sqrt 2$ d. $2\sqrt 2$ e. $\sqrt 2$

jawab:

$EG = 6\sqrt 2$ $OE = \frac{1}{2} \cdot EG = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt 2 = 3\sqrt 2$

$AO = OC$ $AO = \sqrt {O{E^2} + A{E^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {18 + 36} = 3\sqrt 6$

$AC = EG$

$A{C^2} = A{O^2} + O{C^2} - 2 \cdot OE \cdot OC \cdot \cos \alpha$

${\left( {6\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {3\sqrt 6 } \right)^2} + {\left( {3\sqrt 6 } \right)^2} - 2 \cdot \left( {3\sqrt 6 } \right) \cdot \left( {3\sqrt 6 } \right) \cdot \cos \alpha$

$72\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,54 + 54 - 2 \cdot 54 \cdot \cos \alpha$

$\cos \alpha = \frac{{108 - 72}}{{108}} = \frac{{36}}{{108}} = \frac{1}{3}$

$\sin \alpha = \sqrt {{1^2} - {{\cos }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}$ $= \sqrt {\frac{{9 - 1}}{9}} = \frac{2}{3}\sqrt 2$

Perhatikan gambar!

Panjang DC adalah ….

a. $12\sqrt 3$ b. $2\sqrt {57}$ c. $10\sqrt 3$ d. $2\sqrt {63}$ e. $2\sqrt {61}$

Jawab
Berdasarkan aturan sinus

$\frac{{DB}}{{\sin 60}} = \frac{{AB}}{{\sin 45}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{DB}}{{\frac{1}{2}\sqrt 3 }} = \frac{{6\sqrt 6 }}{{\frac{1}{2}\sqrt 2 }}$ $\Leftrightarrow \,\,\,DB = 18$

berdasarkan aturan cosinus

$DC = \sqrt {D{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot DB \cdot BC \cdot \cos 60}$

$= \sqrt {324 + 64 - 144} = \sqrt {244} = 2\sqrt {61}$

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + 3 sin x - 2 = 0 dalam ${0^o} \le x \le {360^o}$ adalah ...
a. $\{ {30^o}{,90^o}\}$
b. $\{ {30^o}{,90^o}{,150^o}\}$
c. $\{ {30^o}{,90^o}{,120^o}\}$
d. $\{ {150^o}{,300^o}\}$
e. $\{ {30^o}{,150^o}\}$

jawab
$\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0$
$1 - 2{\sin ^2}x + 3\sin \,x - 2 = 0$
$2{\sin ^2}x - 3\sin \,x + 1 = 0$ $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - 1} \right) = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \left\{ {{{30}^o}{{,150}^o}} \right\}$
$\sin x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {90^o}$

$HP = \left\{ {{{30}^o}{{,90}^o}{{,150}^o}} \right\}$

Diketahui sudut A dan B lancip dengan $\cos (A + B) = \frac{3}{4}$    dan $\cos A \cdot \cos B = \frac{2}{3}$   . Nilai   $\tan A \cdot \tan B$   adalah ...
a. 1/8 b. -1/12 c. -1/8 d. 1/12 e. -1/4

jawab
$\cos (A + B)$    $= \,\,\,\,\frac{3}{4}$

$\cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B =$ $\,\,\frac{3}{4}$

   $\frac{2}{3}\,\,\,\, - \,\,\,\,\,\sin A \cdot \sin B$ $= \,\,\,\,\frac{3}{4}$

$\sin A \cdot \sin B = \frac{2}{3} - \,\frac{3}{4} = \frac{{8 - 9}}{{12}} = - \frac{1}{{12}}$

$\tan A \cdot \tan B = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} \cdot \frac{{\sin B}}{{\cos B}}$ $= \frac{{ - \frac{1}{{12}}}}{{\frac{2}{3}}} = - \frac{1}{{12}} \times \frac{3}{2} = - \frac{1}{8}$

Nilai dari ${\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} - \left( {x - 2} \right)} \right)$ adalah ....
a. 0 b. -2 c. 2 d. 1 e. -1

jawab

${\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} - \left( {x - 2} \right)} \right)$ $= {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} - \sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)} } \right)$

$= {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } \right)$

$= {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt {a{x^2} + bx + c} - \sqrt {a{x^2} + px + q} } \right)$

$= \frac{{b - p}}{{2a}}$

karena

${\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} - \left( {x - 2} \right)} \right)$ $= {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 6x + 9} - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } \right)$

$= \frac{{ - 6 - \left( { - 4} \right)}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 2}}{2} = - 1$

Nilai dari ${\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x \cdot \tan 4x}}{{2 - 2{{\cos }^2}x}}$

a. 2 b. -1/2 c. 0 d. 1 e. 1/2

jawab
karena ${\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x}{{\sin x}} = 1$ dan ${\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\tan x}}{{\sin x}} = 1$

maka ${\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x \cdot \tan 4x}}{{2 - 2{{\cos }^2}x}}$ $= {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x \cdot \tan 4x}}{{2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}}$ $= {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x \cdot \tan 4x}}{{2 \cdot {{\sin }^2}x}} = {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 \cdot x \cdot \tan 4x}}{{2 \cdot 2 \cdot {{\sin }^2}x}}$

$= {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 \cdot x \cdot \tan 4x}}{{\sin x \cdot 4{{\rm sinx}\nolimits} }}$ $= 2$

Icha akan meniup karet berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukan udara dengan laju pertambahan volume udara $40\,\,c{m^3}/dtk$ . Jika pertambahan jari-jari bola $20\,\,c{m^3}/dtk$ , maka jari-jari bola setelah ditiup adalah ...
a. $\frac{1}{{2\sqrt \pi }}$ b. $\frac{1}{{\sqrt \pi }}$ c. $\frac{2}{{3\sqrt \pi }}$ d. $\pi$ e. $\frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}$

Jawab
$v =$ $\frac{4}{3}\pi {r^3}$     $\Leftrightarrow$ $\frac{{dv}}{{dr}} = 4\pi {r^2}$     $\Leftrightarrow$ $\frac{{40}}{{20}} = 4\pi {r^2}$

   $\Leftrightarrow$    $\frac{{40}}{{20}} = 4\pi {r^2}$

   $\Leftrightarrow$     $\frac{1}{{2\pi }} = {r^2}$    $\Leftrightarrow$    $r = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt \pi }}$

Hasil $\int {18{x^2}{{\left( {2{x^3} - 3} \right)}^5}dx}$   adalah ...
a. $\frac{3}{2}{\left( {2{x^3} - 3} \right)^6} + C$ d.   $\frac{1}{2}{\left( {2{x^3} - 3} \right)^6} + C$
b. $\frac{3}{2}{\left( {3{x^3} - 2} \right)^6} + C$ e. $\frac{1}{2}{\left( {3{x^3} - 2} \right)^6} + C$
c.   $\frac{1}{3}{\left( {2{x^3} - 3} \right)^6} + C$

jawab

misal
   $v = 2{x^3} - 3$ $\Leftrightarrow$    $dv = 6{x^2}dx$ $\Leftrightarrow$    $dx = \frac{{dv}}{{6{x^2}}}$

$\int {18{x^2}{{\left( {2{x^3} - 3} \right)}^5}dx}$ $= \int {18{x^2}{{\left( v \right)}^5}\frac{{dv}}{{6{x^2}}}} = \int {3{{\left( v \right)}^5}dv}$

$= 3 \cdot \frac{1}{6}{v^6} + C = \frac{1}{2}{\left( {2{x^3} - 3} \right)^6}$

Nilai dari $\int\limits_1^4 {\left( {5\sqrt x - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)dx}$ adalah ...

a. $18\frac{2}{3}$ b. $17\frac{1}{3}$ c. $15\frac{1}{4}$ d. $22\frac{1}{3}$ e. $25\frac{1}{4}$

jawab

$\int\limits_1^4 {\left( {5\sqrt x - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)dx}$ $= \int\limits_1^4 {\left( {5{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}}} \right)dx}$ $= \left( {\frac{5}{{1 + \frac{1}{2}}}{x^{1 + \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}}{x^{1 - \frac{1}{2}}}} \right)_1^4$

$= \left( {5 \cdot \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right)_1^4$ $= \left( {\frac{{10}}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - {x^{\frac{1}{2}}}} \right)_1^4$ $= \left( {\frac{{10}}{3} \cdot {4^{\frac{3}{2}}} - \frac{{10}}{3} \cdot {1^{\frac{3}{2}}}} \right) - \left( {{4^{\frac{1}{2}}} - {1^{\frac{1}{2}}}} \right)$

$= \left( {\frac{{10}}{3} \cdot 8 - \frac{{10}}{3} \cdot 1} \right) - \left( {2 - 1} \right)$ $= \frac{{70}}{3} - 7 = 22\frac{1}{3}$

Hasil dari $\int {4\sin 5x \cdot \cos 3x\,} dx$ adalah ...
a. $- \frac{1}{2}\cos 8x - 2\cos 2x + C$ d. $\frac{1}{4}\cos 8x - \cos 2x + C$
b. $- 2\cos 8x - 2\cos 2x + C$ e. $\frac{1}{2}\cos 8x - \cos 2x + C$
c. $- \frac{1}{4}\cos 8x - \cos 2x + C$

jawab
$\int {4\sin 5x \cdot \cos 3x\,} dx$ $= \int {2\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)\,} dx$ $= 2\left( {\frac{1}{8} \cdot - \cos 8x + \frac{1}{2} \cdot - \cos 2x} \right) + C$
$= - \frac{1}{4}\cos 8x - \cos 2x + C$

Nilai dari $\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\left( {6\cos 3x - 3\sin 3x} \right)dx}$   adalah ...

a. -2 b. -6 c. 2 d. 0 e. -4

jawab

$\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\left( {6\cos 3x - 3\sin 3x} \right)dx}$ $= \left( {\frac{6}{3} \cdot \sin 3x - \frac{3}{3} \cdot - \cos 3x} \right)_{ - \pi /2}^{\pi /2}$

   $= \left( {2\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) - 2\sin \left( { - \frac{{3\pi }}{2}} \right)} \right)$ $+ \left( {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) - \cos \left( { - \frac{{3\pi }}{2}} \right)} \right)$

   $= \left( {2\left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1} \right) + \left( {1 - 1} \right) = - 4$

Luas daerah yang dibatasi $y = {x^3} - 6{x^2} + 8x$ dan sumbu X
a. 4 satuan luas d. 2 satuan luas
b. 16 satuan luas e. 12 satuan luas
c. 8 satuan luas

jawab

$y = {x^3} - 6{x^2} + 8x$

$\int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 8x} \right)} dx + \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} - 6{x^2} + 8x} \right)} dx$
$= \left( {\frac{1}{4}{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2}} \right)_0^2 + \left( {\frac{1}{3}{x^4} - 2{x^3} + 4{x^2}} \right)_2^4$

$= \left( {\frac{1}{4}\left( {{2^4} - {0^4}} \right) - 2\left( {{2^3} - {0^3}} \right) + 4\left( {{2^2} - {0^2}} \right)} \right)$
$+ \left( {\frac{1}{3}\left( {{4^4} - {2^4}} \right) - 2\left( {{4^3} - {2^3}} \right) + 4\left( {{4^2} - {2^2}} \right)} \right)$

$= \frac{{16}}{4} + \left| {\frac{{240}}{4} - 112 + 48} \right|$ $= 4 + 4 = 8$ satuan luas

Volume benda putar terjadi jika daerah antara kurva $y = - {x^2} + 9$ sumbu X dan garis x = 0 di kuadran I diputar mengelilingi sumbu X sejauh ${360^0}$ adalah ... satuan luas
a. $48\frac{3}{5}\pi$ b. $129\frac{3}{5}\pi$ c. $72\frac{2}{5}\pi$ d. $81\frac{3}{5}\pi$ e. $18\pi$

jawab

dari gambar nampak bahwa

Volume benda putar

$= \pi \int\limits_0^3 {{{\left( { - {x^2} + 9} \right)}^2}} dx$ $= 2\pi \int\limits_0^3 {{{\left( { - {x^2} + 9} \right)}^2}} dx$ $= \pi \int\limits_0^3 {\left( {{x^4} - 18{x^2} + 81} \right)} dx$

$= \pi \cdot \left( {\frac{1}{5} \cdot {x^5} - 6{x^3} + 81x} \right)_0^3$ $= \pi \cdot \left( {\frac{1}{5} \cdot \left( {{3^5} - {0^5}} \right) - 6\left( {{3^3} - {0^3}} \right) + 81 \cdot \left( {3 - 0} \right)} \right)$

$= \pi \cdot \left( {\frac{{243}}{5} - 6 \cdot 162 + 243} \right)$ $= 129\frac{3}{5}\pi$

Perhatikan histogram berikut!

Modus dari data pada histogram di atas adalah ….
a, 16,25 b, 15,50 c, 14,50 d, 15,25 d,16,50

jawab

kelas modus pada interval 14,5 -19,5

jarak interval : 5

modus $= Bbm + \frac{{{d_1}}}{{{d_1} + {d_2}}} \cdot i$ $= 14,5 + \frac{2}{{2 + 3}} \cdot 5$ $= 14,5 + 2 = 16,5$

Dari 10 orang pengurus suatu organisasi akan dipilih sebagai ketua, sekertaris, dan bendahara. Banyak cara pemilihan yang mungkin adalah ....
a. 40 b. 720 c. 256 d. 5040 e. 210

jawab

banyaknya cara memilih ketua: 10 cara
banyaknya cara memilih sekretaris: 9 cara
banyaknya cara memilih bendahara: 8 cara

jadi banyaknya cara memilih ketua, wakil dan bendahara

10 . 9 . 8 = 720 cara

Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang 3/5. Dalam sebuah kesempatan dilakukan 5 kali tendangan peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan penalti tersebut adalah ...

a. $\frac{{216}}{{625}}$ b. $\frac{{228}}{{625}}$     c. $\frac{{612}}{{625}}$     d. $\frac{{180}}{{625}}$     e. $\frac{{230}}{{625}}$

jawab
peluang menahan tendangan pinalti : $\frac{3}{5}$

peluang gol :   ${\frac{2}{5}}$

banyaknya cara menahan 3 tendangan dari 5 tendangan adalah

   ${}_5{C_3} = \frac{{5!}}{{3!\left( {5 - 3} \right)!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2! \cdot 3!}} = 10$

jadi peluang penjaga gawang mampu menahan 3 kali tendangan pinalti:
$P(x = 3) = {}_5{C_3} \cdot {\left( {\frac{3}{5}} \right)^3} \cdot {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2}$ $= 10 \cdot \frac{{27}}{{125}} \cdot \frac{4}{{25}} = \frac{{216}}{{625}}$

.....................................Selesai.....................................................

Campur Campur

Breaking

Sunday, October 27, 2019

Latihan Soal UN 2020

Follow Us

Facebook

Followers

Tags

Recent Post

Recent In Explore

Popular

Campur Campur

Breaking

Sunday, October 27, 2019

Latihan Soal UN 2020

Baca Juga

Follow Us

Facebook

Followers

Tags

Recent Post

Recent In Explore

Popular