Wednesday, October 23, 2019

Home / latihan soal / SMA / Pembahasan Soal HOTS matematika

Pembahasan Soal HOTS matematika

by doujinindones on October 23, 2019 in latihan soal, SMA

Akar-akar persamaan kuadrat $2{x^2} - 2mx + 3m$   adalah p dan q. Diketahui p dan q dengan p > q membentuk barisan geometri dengan rasio $\frac{1}{3}$ . Bila p, q dan $\frac{1}{2}m - n$   membentuk barisan aritmatika, berapakah nilai n?

jawab

$2{x^2} - 2mx + 3m$

a = 2 b = -2m c = 3m

maka:
   $p + q = - \frac{b}{a} = m$     ............................ persamaan 1

$\frac{p}{q} = 3$   ........................................... persamaan 2
   $pq = \frac{c}{a} = \frac{{3m}}{2}$    ...................................persamaan 3

dari persamaan 1 dan 2

p + q = m .........dibagi q

$\frac{p}{q} + 1 = \frac{m}{q}$

$3 + 1 = \frac{m}{q}$

m = 4q .................................................persamaan 4

masukan persamaan 4 ke persamaan 3
$pq = \frac{{3m}}{2}$

$pq = \frac{{3 \cdot 4q}}{2}$ berakibat p = 6

dari persamaan 1

p + q = m
6 + q = 4q
berakibat q = 2 dan m = 8

maka
$q - p = \frac{1}{2}m - n$

$2 - \,\,6 = \,\,\,\,\,8\,\,\,\,\, - n$

$\, - 4\,\, = \,\,\,\,4\,\,\,\, - \,\,n$

berakibat n = 6
Diketahui $f(x) = 4{x^2} - 3$ dan $g(x) = {2^x}$ . Nilai dari ${g^{ - 1}}(f({x^2}) + 2f(x) + 9)$ adalah ...

Jawab
$f(x) = 4{x^2} - 3$ dan $g(x) = {2^x}$

${g^{ - 1}}(x) = \,\,\,{\,^2}\log x$

${g^{ - 1}}(f({x^2}) + 2f(x) + 9) =$ $\,{\,^2}\log \left( {\left( {4{{({x^2})}^2} - 3} \right) + 2\left( {4{x^2} - 3} \right) + 9} \right)$

$= \,{\,^2}\log \left( {\left( {4{x^4} - 3} \right) + 8{x^2} - 6 + 9} \right)$

$= \,{\,^2}\log \left( {4{x^4} + 8{x^2}} \right)$

$= \,{\,^2}\log 4{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right)$

$= 2\,{\,^2}\log 2x{ + ^2}\log \left( {{x^2} + 2} \right)$

$= 2\,\,(1{ + ^2}\log x){ + ^2}\log \left( {{x^2} + 2} \right)$
Himpunan persamaan

   ${\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} = 34}$

   ${\frac{3}{x} - \frac{1}{y} - \frac{4}{x} = - 30}$

${\frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{6}{x} = - 38}$

adalah x, y dan z. Jika x, y dan z berturut-turut membentuk barisan geometri, jumlah lima suku pertamanya adalah ...

Jawab
misalkan ${A = \frac{1}{x}}$ ,   ${B = \frac{1}{y}}$ ,   ${C = \frac{4}{x}}$

maka:
   ${A + 2B + 3C = 34}$ ............. persamaan 1 ${3A - B - 4C = - 30}$ ............. persamaan 2

${A + 2B - 6C = - 38}$ ............. persamaan 3

dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 3 diperoleh:
C = 8

dengan memasukan nilai C pada persamaan 1 dan 2 dan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh:
A = 2 dan B = 4

dengan demikian nilai x, y, z masing-masing adalah

   ${x = \frac{1}{A} = \frac{1}{2}}$

   ${y = \frac{1}{B} = \frac{1}{4}}$

   ${z = \frac{1}{C} = \frac{1}{8}}$

Jumlah 5 suku pertama adalah

${{u_1} = a = \frac{1}{2}}$ , ${r = \frac{1}{2}}$

${{S_5} = \frac{{a(1 - {r^n})}}{{1 - r}}}$

   ${ = \frac{{\frac{1}{2}(1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^5})}}{{1 - \frac{1}{2}}}}$

   ${ = \frac{{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{{32}})}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{31}}{{32}}}$
Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat $\frac{{ - {x^2} + 2px - 6}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right)}} \ge 0$   dengan $- 1 \le p \le 2$   adalah ....

Jawab
Persamaan kuadrat dikatakan
a. definit positif bila a > 0 dan D < 0
b. definit negatif bila a < 0 dan D < 0

dengan demikian, persamaan kuadrat
   ${ - {x^2} + 2px - 6}$ => a = -1 < 0

$D = {b^2} - 4ac$
   $= {(2p)^2} - 4( - 1)( - 6)$

$D = 4{p^2} - 24 < 0$
   $= {p^2} - 6 < 0$
   $\Leftrightarrow \,\,\,\,\sqrt 6 < p < \sqrt 6$ perhatikan bahwa   $- \sqrt 6 < - 1 < p < 2 < \sqrt 6$

oleh karena $- \sqrt 6 < - 1 < p < 2 < \sqrt 6$ dan a < 0
maka perssamaan
${ - {x^2} + 2px - 6}$ definit negatif

maka agar pertidaksamaan   $\frac{{ - {x^2} + 2px - 6}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right)}} \ge 0$   dipenuhi, syarat yang harus dipenuhi adalah

${\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right) < 0}$

${\left( {x - 2} \right)(x - 3)(x + 2) < 0}$

Daerah penyelesaiannya adalah

x < - 2 atau 2 < x < 3
Jika daerah penyelesaian
$x + 2y \ge 8$
$px + y \ge - 6$
   $x + 2y \le 18$
   $x,y \ge 0$
berbentuk trapesium siku-siku di titik potong antara $x + 2y \le 18$ dengan $px + y \ge - 6$ , maka nilai maksimum f(x,y) = 3x + 4y adalah ...

Jawab
Bila garis k bergradien m dan garis l memiliki gradien n, maka kedua garis k dan garis l dikatakan berpotongan tegak lurus bila $m = - \frac{1}{n}$

karena x + 2y = 18 memiliki gradien $m = \frac{1}{2}$ dan memotong tegak lurus dengan garis px + y = -6, maka pastilah p = - 2.

Dengan demikian diperoleh persamaan:
$x + 2y \ge 8$
$- 2x + y \ge - 6$
   $x + 2y \le 18$
   $x,y \ge 0$

maka daerah hasilnya dapat dilukiskan melalui grafik berikut:

titik potong garis -2x + y = -6 dan x + 2y = 8 terjadi di (4,2)
titik potong garis -2x + y = -6 dan x + 2y = 18 terjadi di (6,6)

titik kritis
(4,2) => f(x,y) = 3x + 4y = 3 . 4 + 4 . 2 = 12 + 8 = 20
(6,6) =>  f(x,y) = 3x + 4y = 3 . 6 + 4 . 6 = 18 + 24 = 42
(8,0)\ =>  f(x,y) = 3x + 4y = 3 . 8 + 4 . 0 = 24 + 0 = 24
(18,0) => f(x,y) = 3x + 4y = 3. 18 + 4 . 6 = 54 + 0 = 54

jadi nilai maksimum f(x,y) = 3x + 4y = 54
Misalkan $A = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {{U_1}}&{{U_2}}\\ {{U_3}}&{{U_4}} \end{array}} \right)$ dengan ${U_1},{U_2},{U_3},{U_4}$ membentuk suatu barisan aritmatika dengan suku kedua adalah 8 dan suku keempat adalah 14. Jika B adalah invers dari A, maka determinan dari B adalah ...

jawab

${U_1} = a$

${U_2} = a + b = 8$

${U_4} = a + 3b = 14$

dengan cara eliminasi didapat b = 3 dan a = 5

maka

${U_1} = 5$

${U_3} = a + 2b = 11$

Jadi matriks $A = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 5&8\\ {11}&{14} \end{array}} \right)$

$\det (B) = \frac{1}{{\det (A)}}$ $= \frac{1}{{5 \cdot 14 - 11 \cdot 8}}$ $= - \frac{1}{{18}}$
Jika p, q, p+q, pq adalah bilangan positif dan saling membentuk barisan geometri, maka nilai p dan rasionya adalah ...

jawab

   $r = \frac{q}{p} = \frac{{p + q}}{q} = \frac{{pq}}{{p + q}}$

perhatikan

   $r = \frac{{p + q}}{q}$ dan $r = \frac{q}{p}$

   $= \frac{p}{q} + 1$

$r = \frac{1}{r} + 1$ $\Leftrightarrow \,\,\,\,\,{r^2} - r - 1 = 0$

   ${r_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

${ = \frac{{ - ( - 1) \pm \sqrt {{{( - 1)}^2} - 4.(1).( - 1)} }}{{2.1}}}$    ${ = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}}$

perhatikan juga

$r = \frac{{p + q}}{q} \Leftrightarrow \,\,\,qr = p + q$ dan $r = \frac{{pq}}{{p + q}}$ $\Leftrightarrow r = \frac{{pq}}{{qr}}$

$r = \frac{p}{r} \Leftrightarrow {r^2} = p$

maka
$p = {r^2} = {\left( {\frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right)^2}$ $= \frac{{1 + 5 \pm 2\sqrt 5 }}{2}$    ${ = 3 \pm \sqrt 5 }$
Nilai dari ${\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 6x - \cos 4x}}{{\sqrt {9 - x} - 3}} = ...$   adalah ..

Jawabdengan dalil D'Hospital diperoleh

   ${\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 6x - \cos 4x}}{{\sqrt {9 - x} - 3}}$    $= {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6 \cdot \cos 6x \cdot \cos 4x - 4 \cdot \sin 6x \cdot \sin 4x}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt {9 - x} }}}}$

   $= {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6 \cdot \cos 0 \cdot \cos 0 - 4 \cdot \sin 0 \cdot \sin 0}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt {9 - 0} }}}}$

$= {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{6 \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0 \cdot 0}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt 9 }}}}$

$= {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{6}{{ - \frac{1}{{2.3}}}} = - 36$
Jika suatu fungsi $g(x) = a\sqrt {{x^2} - 2x - 3}$   naik pada interval $\{ x|x \ge 3,x \in \mathbb{R}\}$   dan turun pada interval $\{ x|x \le - 1,x \in \mathbb{R}\}$ , maka himpunan semua nilai a yang memenuhi adalah ...

Jawab

$g(x) = a\sqrt {{x^2} - 2x - 3}$ \

$g'(x) = \frac{{a \cdot (2x - 2) \cdot \frac{1}{2}}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}$    $= \frac{{a \cdot (x - 1)}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}$
fungsi g (x) naik pada interval $\{ x|x \ge 3,x \in \mathbb{R}\}$ maka

   $g'(x) = \frac{{a \cdot (x - 1)}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} > 0$

karena ${\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }$   terdefinisi untuk   $\{ x|x \le - 1\,\,\,atau\,\,\,x \ge 3\}$   , ${\sqrt {{x^2} - 2x - 3} \ge 0}$   dan (x - 1) > 0 untuk \ $x \ge 3$   maka g(x) naik bila nilai a > 0

fungsi g (x) turun pada interval $\{ x|x \le - 1,x \in \mathbb{R}\}$ maka
$g'(x) = \frac{{a \cdot (x - 1)}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} < 0$

karena ${\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }$ terdefinisi untuk $\{ x|x \le - 1\,\,\,atau\,\,\,x \ge 3\}$ , \(\sqrt ${\sqrt {{x^2} - 2x - 3} \ge 0}$ dan (x - 1) < 0 untuk $x \le - 1$   maka maka g(x) turun bila nilai a > 0

jadi fungsi $g(x) = a\sqrt {{x^2} - 2x - 3}$ akan naik pada interval $\{ x|x \ge 3,x \in \mathbb{R}\}$ dan turun pada interval $\{ x|x \le - 1,x \in \mathbb{R}\}$ bila a > 0
garis m dan n adalah garis singgung kurva y = f (x) = 3 sin x berturut-turut di titik\((\pi ,0)\) dan (0,0). Luas daerah yang dibatasi y = f (x) = 3 sin x dengan garis m dan n adalah ...

Jawab
gradien garis singgung kurva y = 3 sin x

m = y' = 3 cos x

pada titik (0,0), gradien kutva y

m = y' = 3 cos x
= 3 cos 0 = 3

persamaan garis melalui titik (0,0) dan bergradien m = 3

$y - {y_1} = m(x - {x_1})$

$y - \,\,\,0\,\,\, = 3\,\,(x - 0)$

$y\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,3x$

pada titik $\left( {\pi ,0} \right)$

$m = y' = 3\cos \pi$

$= 3 \cdot - 1 = - 3$

persamaan garis melalui titik \(((pi,0)\) dan bergradien m = -3

$y - {y_1} = m(x - {x_1})$

$y - 0 = - 3.(x - \pi )$

$y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 3x + 3\pi$

grafik fungsi

dari grafik nampak
$\int\limits_{\pi /2}^\pi {\left( {( - 3x + 3\pi ) - 3\sin x} \right)dx}$ $= \int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3x - 3\sin x} \right)dx}$

maka luas yang dibatasi kurva y = 3 sin x , y = 3x , y = -3x adalah

$Luas = \int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3x - 3\sin x} \right)dx}$ $+ \int\limits_{\pi /2}^\pi {\left( {( - 3x + 3\pi ) - 3\sin x} \right)dx}$ $= 2\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3x - 3\sin x} \right)dx}$ $= \frac{{3{\pi ^2}}}{4} - 6$
Nilai x yang memenuhi $\sin 2x \ge \sin x$   pada interval $- \pi \le x \le \pi$   adalah ...

jawab

$\sin 2x \ge \sin x$

$2\sin x \cdot \cos x \ge \sin x$

   $\sin x(2cos\,x - 1) \ge 0$

persamaan tersebut terpenuhi bila   $- \pi \le x \le - \frac{\pi }{3}$ ,   $0 \le x \le \frac{\pi }{3}$ , $\pi$
Misalkan sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABGH dengan bidang ABTU dengan T adalah titik tengah FG dan U adalah titik tengah EH adalah ...

jawab

   $BG = \sqrt {B{C^2} + B{F^2}} = \sqrt {{8^2} + {8^2}} = 8\sqrt 2$
   $TB = \sqrt {B{F^2} + F{T^2}} = \sqrt {{8^2} + {4^2}} = 4\sqrt 5$

nilai kosinus antara bidang ABTU dan bidang ABGH dengan
   $G{T^2} = B{G^2} + T{B^2} - 2 \cdot BG \cdot TB \cdot \cos \alpha$
   $\,\,{4^2}\,\,\,\,\, = \,{\left( {8\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {4\sqrt 5 } \right)^2} - 2 \cdot 8\sqrt 2 \cdot 4\sqrt 5 \cdot \cos \alpha$
$64\sqrt {10} \cdot \cos \alpha = 128 + 80 - 16$
$\cos \alpha = \frac{{192}}{{64\sqrt {10} }} = \frac{3}{{10}}\sqrt {10}$
Suatu vektor   $\bar v = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {{v_1}}\\ {{v_2}} \end{array}} \right)$    dicerminkan terhadap sumbu y = x kemudian hasilnya diputar mengelilingi pusat koordinat sejauh \({270^o}\) berlawanan arah jarm jam. Hasilnya ditransformasikan oleh suatu matriks T sehingga bayangannya menjadi suatu vektor $\bar w = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {{v_2}}\\ {{v_1}} \end{array}} \right)$ . Matriks transformasi T adalah ...

Jawab

$\bar w = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {{v_2}}\\ {{v_1}} \end{array}} \right) = T\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\cos 270}&{ - \sin 270}\\ {\sin 270}&{\cos 270} \end{array}} \right)$ $\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {{v_1}}\\ {{v_2}} \end{array}} \right)$

$= T\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right)$ $\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&1\\ 1&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {{v_1}}\\ {{v_2}} \end{array}} \right)$

$= T\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {{v_2}}\\ {{v_1}} \end{array}} \right)$

   $= T\left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} {{v_1}}\\ { - {v_2}} \end{array}} \right)$

maka matriks   $T = \left( {\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&{ - 1}\\ 1&0 \end{array}} \right)$
Tentukan himpunan penyelesaian yang memenuhi
cos 2x + 7 cos x - 3 = 0

Jawab
cos 2x + 7 cos x - 3 = 0
$\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \cos 7x - 3 = 0$
$2{\cos ^2}x + \cos 7x - 4 = 0$
$\left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\cos x + 4} \right) = 0$
$\cos x = \frac{1}{2}$ atau   $\cos x = - 4$

karena $- 1 \le \cos x \le 1$ untuk $- 2\pi \le x \le \pi$

maka tidak ada x yang memenuhi   $\cos x = - 4$
dengan demikian penyelesaiannya adalah
$\cos x = \frac{1}{2}$ berakibat $x = \left\{ {{{60}^0}{{,300}^0}} \right\}$   untuk $\left[ { - 2\pi ,2\pi } \right]$
Sebuah toko mainan membuat kupon undian terdiri dari 4 angka berbeda dari 6 angka yang tersedia yaitu 1,2,3,4,5,6. peluang kupon undian yang nilainya lebih dari 3500 adalah ...

jawab
Jumlah kemungkinan semua nomor kupon = 6 . 5 . 4. 3 = 360 cara

Jumlah kemungkinan nomor kupon > 3500
a. untuk nomor kupon > 4000 = 3 . 5 . 4 . 3 = 180
b. untuk 3500 < nomor kupon < 4000 = 1 . 2 . 4 . 3 = 24
jadi banyaknya nomor kupon > 3500 = 204

peluang nomor kupon > 3500 = $= \frac{{204}}{{360}} = \frac{{17}}{{30}}$

Copyright © Campur Campur

About / Contact / Disclaimer / Privacy Policy / Sitemap / Partner