Himpunan, Relasi dan Fungsi

A. Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau obyek yang bisa didefinisikan dengan jelas, hingga dengan tepat bisa diketahui obyek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk himpunan tersebut

Contoh: himpunan provinsi yang berada di pulau jawa

himpunan nama siswa kelas VI SD Melati saat ini yang diawali huruf M

Suatu himpunan biasanya ditulis dengan menggunakan huruf kapital A, B, C, ..., Z.

Benda atau obyek yang termasuk himpunan disebut anggota dari himpunan atau elemen himpunan dan ditulis dengan menggunakan huruf kecil dan terletak dalam kurung kurawal {....}.

Apabila a adalah anggota dari himpunan A, maka ditulis dengan $a \in A$ . Sebaliknya bila a bukan anggota dari himpunan A maka ditulis dengan $a \notin A$ . Banyaknya anggota dari himpunan A ditulis dengan n (A).

Himpunan dapat dinyatakan dengan cara:

Dengan kata-kata
yaitu dengan menyebutkan semua syarat ataupun sifat-sifat keanggotaan dari suatu himpunan

Contoh" A adalah himpunan bilangan cacah ditulis A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Dengan Notasi pembentuk himpunan
Yaitu menyebutkan semua syarat atau sifat keanggotaan dari suatu himpunan, namun anggota himpunan dinyatakan dalam variable peubah.

contohL A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, ditulis A = { x| 5 < x < 12, $x \in \mathbb{N}$ }
Dengan mendaftar anggota-anggotanya
yaitu dengan menuliskan anggota-anggota himpunan dalam pasangan kurung kurawal dan memisahkan tanda koma.

contoh A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12 ditulis A = { 6, 7, 8, 9, 10, 11 }

Jenis-jenis himpunan

Himpunan Semesta
Himpunan semesta/semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya himpunan semesta disimbolkan dengan S atau U.

contoh
Misalkan
1. A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah sebagai
berikut:
a. S = {bilangan Prima} atau
b. S = {bilangan Asli} atau
c. S = {bilangan cacah}
2. Himpunan Semesta ang mungkin dari {kambing, Anjing, Kucing} adalah {binatang}, {binatang berkaki empat} atau {binatang memamah biak}
Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinotasikan dengan { } atau $\emptyset$

Himpunan nol adalah himpunan yang mempunyai anggota 1 yaitu {0}
Himpunan bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian B bila setiap anggota dari himpunan A juga menjadi anggota dari himpunan B dan dinotasikan dengan $A \subset B$ atau $B \supset A$

jika ada himpunan A dan B dimana anggota A merupakan anggota B, maka dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan $A \subset B$

Jadi $A \subset B$ jika dan hanya jika $x \in A \Rightarrow x \in B$ .
Jika ada anggota A yang bukan anggota himpunan B, maka A bukan himpunan bagian dari B dan ditulis dengan $A \not\subset B$

contoh
1. S = {bilangan asli kurang dari 10} = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 }
A = {bilangan asli ganjil kurang dari 10} = { 1, 3, 5, 7, 9 }
B = {bilangan asli genap kurang dari 10} = { 2, 4, 6, 8 }

Maka : $A \subset S\,\,\, \Rightarrow$ himpunan A adalah himpunan bagian dari S
$B \subset S\,\,\, \Rightarrow$ himpunan B adalah himpunan bagian dari S
$A \not\subset B\,\, \Rightarrow$ himpunan A bukan himpunan bagian dari S

2. Sebutkan himpunan semua bagian dari A = { 2, 3, 5 }
jawab: himpunan bagian dari A
terdiri atas 1 anggota : { }, { 2 }, { 3 }, { 5 } : 4 anggota
terdiri atas 2 anggota : { 2, 3 }, { 2, 5}, { 3, 5 } : 3 anggota
terdiri atas 3 anggota : { 2, 3, 5 } : 1 anggota
total : 8 anggota

Dari contoh 2, dapat ditentukan rumus yang berkaitan dengan himpunan bagian dari himpunan A yakni

1. Total himpunan bagian (himpunan kuasa)
bila n (A) banyaknya anggota dari A, maka banyaknya himpunan bagian dari
himpunan A yang mungkin adalah ${2^{n(A)}}$

2. Jumlah himpunan bagian dengan k anggota
Jika banyaknya himpunan bagian dari A adalah m = ${2^{n(A)}}$ , maka jumlah himpunan
bagian yang memilik k anggota adalah
$= \frac{{m!}}{{(m - k)!\,\, \times k!}}$

$m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot .... \cdot m$

Diagram Venn
Diagram Venn dapat digunakan untuk menyatakan hubungan dan operasi-operasi antara 2 himpunan atau lebih

aturan diagram venn

Himpunan semesta digambarkan dengan persegi panjang dan lambang S ditulis di pojok kiri atas
Setiap himpunan digambarkan dengan lingkaran dan nama himpunan tersebut ditulis didekat lingkaran tersebut
setiap anggota himpunan ditunjukan dengan noktah $\left( \bullet \right)$ dan nama anggota ditulis didekat noktah tersebut.

Contoh:

S = {bilangan asli kurang dari 10} = { 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 }
A = {bilangan asli ganjil kurang dari 10} = { 1, 3, 5, 7, 9 }
B = {bilangan asli genap kurang dari 10} = { 2, 4, 6, 8 }

diagram Venn

Hubungan antar Himpunan
Hubungan antar Himpunan terbagi menjadi

Himpunan sama dengan (=)
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika kedua himpunan A dan B mempunyai jenis anggota yang sama, dapat ditulis A = B

contoh: A = { m, a, u } B = { u, m, a }
kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama
Himpunan ekuivalen
Himpunan A dan himpunan B dikatakan ekuivalen bila kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah anggota yang sama ditulis $A \sim B$ .

contoh A = { 1, 2, 3, 4, 5 } n (A) = 5
B = { a, b, c, d, e } n (B) = 5
Himpunan saling lepas
Himpunan A dan Himpunan B dikatakan saling lepas bila kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama ditulis A | | B atau $A \supset \subset B$

Contoh: A = { himpunan bilangan positif }
B = { himpunan bilangan negaif }
Himpunan tak saling lepas
Himpunan A dan himpunan B dikatakan tak saling lepas bila sebagian dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama dan ditulis
Himpunan Bagian
Himpunan A dan himpunan B dikatakan himpunan bagian bila setiap anggota himpunan A adalah anggota himpunan B dan ditulis dengan $A \subset B$
Himpunan Komplemen
Komplemen himpunan A (ditulis dengan A' atau ${A^C}$ ) adalah semua anggota himpunan semesta yang bukan merupakan anggota dari himpunan A.

Operasi pada himpunan

Irisan
Himpunan A dan himpunan B dikatakan berisan bila ada anggota himpunan A yang juga menjadi anggota himpunan B dan dinotasikan dengan $A \cap B$

contoh A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
maka $A \cap B\,\,\,\, = \,\,\left\{ {4,5,6} \right\}$
Gabungan
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang angota-angotanya merupakan gabungan dari himpunan A dan himpunan B dan dinotasikan dengan $A \cup B$

contoh A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
maka $A \cup B$ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Selisih
Himpunan A selisih himpunan B adalah himpunan dari anggota A yang tidak memuat anggota himpunan B dan ditulis A - B.

contoh A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
maka A - B = { 1, 2, 3 }

Aturan yang berlaku dalam himpunan

Hukum Komutatif

$\begin{array}{l} A \cup B\,\,\,\, = \,\,B \cup A\\ A \cap B\,\,\,\, = \,\,B \cap A \end{array}$
Hukum Asosiatif

$\begin{array}{l} \left( {A \cup B} \right) \cup C\,\,\,\, = \,\,A \cup \left( {B \cup C} \right)\\ \left( {A \cap B\,} \right) \cap C\,\,\, = \,\,A \cap \left( {B \cap C} \right) \end{array}$
Hukum distributif

$\left( {A \cup B} \right) \cap C\,\,\,\, = \,\,\left( {A \cap C} \right) \cup \left( {B \cap C} \right)$
$\left( {A \cap B\,} \right) \cup C\,\,\, = \,\,\left( {A \cup C} \right) \cap \left( {B \cup C} \right)$
Hukum Identitas

$\begin{array}{l} A \cap S\,\,\,\, = A\\ A \cup \emptyset \,\,\, = A \end{array}$
Hukum ikatan

$\begin{array}{l} A \cap \emptyset \,\,\,\, = \emptyset \\ A \cup S\,\,\, = S \end{array}$
Hukum Negasi

$\begin{array}{l} A \cap {A^C}\,\,\,\, = \emptyset \\ A \cup {A^C}\,\, = S \end{array}$
Hukum Negasi ganda

${\left( {{A^C}} \right)^C}\,\, = A$
Hukum Idempoten

$\begin{array}{l} A \cap A\,\,\,\, = A\\ A \cup A\,\, = A \end{array}$
Hukum De Morgan

$\begin{array}{l} {\left( {A \cap B} \right)^C}\,\,\,\, = {A^C} \cup {B^C}\\ {\left( {A \cup B} \right)^C}\,\,\,\, = {A^C} \cap {B^C} \end{array}$
Hukum Penyerapan

$\begin{array}{l} \left( {A \cap B} \right) \cup A\,\,\,\, = A\\ \left( {A \cup B} \right) \cap A\,\,\, = A \end{array}$
negasi S dan $\emptyset$

$\begin{array}{l} {S^C} = \emptyset \\ {\emptyset ^C} = S \end{array}$

B. Relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Contoh:

diketahui himpunan P = {1, 2, 3, 4, 5} dan Q = {1, 4, 9, 16, 25}. Tentukanlah relasi himpunan P yaang menghubungkan himpunan Q?

Jawab:
Relasi yang dapat menghubungkan antara himpunan P ke himpunan Q adalah "akar dari".

Cara menyajikan relasi

Misalkan diketahui Rani menyukai bulu tangkis dan basket, Dian menyukai basket dan atletik, Doni menyukai senam dan Dila menyukai basket dan tenis meja. Maka relasi himpunan P = {Rani, Dian, Doni, Dila} dan himpunan Q = {Basket, bulu tangkis, atletik, senam, tenis meja} dapat digambarkan sebagai berikut:

Diagram panah
Anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi "menyukai". Hal tersebut ditunjukan dengan arah anak panah
Diagram kartesius
Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendata (sumbu X) dan himpunan Q terletak pada sumbu Y. Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukan dengan noktah atau titik seperti contoh di bawah ini.
Himpunan pasangan berurutan
Relasi himpunan P dengan himpunan Q dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Caranya, anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya. Dengan demikian, himpunan pasangan berurutan himpunan P dengan himpunan Q dapat ditulis sebagai berikut:

{(Rani, Basket), (Rani,Bulutangkis), (Dian, Basket), (Dian, atletik), (Dion, Senam), (Dila, Basket), (Dila, Tenis meja)}

Hasil Kali kartesius

Dalam suatu relasi tentu saja terdapat dua buah himpunan yang dihubungkan dengan relasi tertentu dan dapat disajikan dalam bentuk himpunan berurutan. Oleh karena itu, bila himpunan P dan Q berelasi, maka himpunan pasangan berurutan tersebut merupakan hasil kali kartesius dari himpunan P dan himpunan Q. Secara matematism hasil kali himpunan P dan himpunan Q dapat ditulis dengan:

$P \times Q = \left\{ {\left( {a,b} \right)|a \in P,b \in Q} \right\}$

Jika diketahui banyak anggota himpunan P adalah n ( P ) = r dan banyak anggota himpunan Q adalah n ( Q ) = s, maka banyaknya anggota $P \times Q$ adalah

$n\left( {P \times Q} \right) = n\left( P \right) \times n\left( Q \right)$

Contoh:
Misalkan A = {a, b , c } dan B = {1, 2, 3}, maka

$A \times B =$ { ${\left( {a,1} \right),\left( {a,2} \right),\left( {a,3} \right),\left( {b,1} \right),\left( {b,2} \right),\left( {b,3} \right),\left( {c,1} \right),\left( {c,2} \right),\left( {c,3} \right)}$ }

$n\left( {A \times B} \right) = n\left( A \right) \times n\left( B \right)$ $= 3 \times 3 = 9$

PEMETAAN ATAU FUNGSI

Pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A tepat satu ke anggota pada himpunan B.

dalam kehidupan sehari=hari, banyak sekali relasi yang menggambarkan relasi fungsi. Misalnya relasi nama negara dengan ibu kotanya, relasi nama siswa dengan nomor induk-nya, relasi lagu daerah dengan daerah asalnya, dll.

Fungsi dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan $f:A \to B$ (dibaca f memetakan anggota himpunan A ke anggota himpunan B).

Jika f adalah sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B dengan $x \in A$ dan $y \in B$ maka peta x oleh f adaah y yang dinyatakan oleh f (x). Maka notasi umumnya adalah

$f:x \to y$ atau $f:x \to f(x)$

Istilah-istilah dalam fungsi:
a. Domain $\left( {{D_f}} \right)$ : Daerah asal
b. Kodomain $\left( {{K_f}} \right)$ : daerah kawan
c, Range $\left( {{R_f}} \right)$ : daerah hasil

Contoh:

suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan aturan x + 2 dengan $x \in A$ . Jika diketahui A = {2, 3, 5, 7} dan B = {1, 2, 3, ..., 12} tentukan
a. Himpunan pasangan berurutan
b. daerah asal, daerah kawan dan daerah hasil dari f

jawab
a. pemetaan f dari A ke B adalah $f:x \to x + 2$
x = 2   maka f (x) = 2 + 2 = 4
x = 3   maka f (x) = 3 + 2 = 5
x = 5   maka f (x) = 5 + 2 = 7
x = 7   maka f (x) = 7 + 2 = 9

himpunan pasangan terurut (x, f (x)) = {(2,4), (3, 5), (5,7), (7, 9)}

b, Daerah asal = {2, 3, 5, 7}
Daerah kawan = {1, 2, 3, ..., 12}
Daerah hasil = {4, 5, 7, 9}

Manakah diantara gambar berikut yang bukan merupakan fungsi

jawab
gambar a bukan fungsi karena ada anggota himpunan A yang tidak dipasangkan dengan
anggota di himpunan B

gambar b bukan fungsi karena ada anggota himpunan A yang dipasangkan lebih dari satu
dengan anggota di himpunan B

gambar c fungsi karena setiap anggota di A tepat satu dihubungkan dengan anggota di
himpunan B.

Sifat-sifat fungsi

Fungsi Surjektif
fungsi $f:A \to B$ dikatakan fungsi surjektif jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau ${{R_f} = B}$ . Dengan kata lain setiap $y \in B$ terdapat $x \in A$ sedemikian sehingga f (x) = y.
Jika suatu fungsi $f:A \to B$ surjektif, maka kodomain = range.
Fungsi Unto
fungsi $f:A \to B$ dikatakan fungsi into jika ada elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.
Fungsi Injektif
fungsi $f:A \to B$ dikatakan fungsi injektif jika tidak ada dua anggota atau lebih anggota di himpunan A yang mempunyai pasangan di B. Secara matematis, suatu fungsi $f:A \to B$ dikatakan injektif bila untuk $a \in A$ dan $b \in A$ , maka f (a) = f (b). Seringkali fungsi injektif disebut juga fungsi satu-satu.
Fungsi Bijektif
fungsi $f:A \to B$ dikatakan fungsi bijektif jika fungsi tersebut adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. Apabila fungsi $f:A \to B$ adalah fungsi bijektif, maka n (A) = n (B)

Menentukan Banyaknya Pemetaan atau Fungsi
Jika banyak anggota himpunan A adalah m dan banyaknya anggota himpunan B adalah n maka banyaknya pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah ${n^m}$ .

Contoh
Tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan jika himpunan A = :{3, 4, 5} dan B ={a, b}!

jawab
pemetaan yang mungkin terjadi adalah sebagai berikut

karena banyaknya himpunan A adalah 3 dan banyaknya himpunan B adalah 2, maka banyaknya pemetaan yang mungkin ada ${2^3}$ .

Korespondensi satu-satu

Dua buah himpunan A dan B disebut berkorespondensi satu-satu jika setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan tepat satu anggota di A. Akibatnya, pada korespondensi satu-satu, jumlah anggota A dan B haruslah sama. Dengan demikian, fungsi korespondensi satu-satu tidak lain adalah fungsi bijektif.

Rumus:

Misalkan banyaknya anggota himpunan A dan B adalah n, maka banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B adalah n!

contoh latihan

Selidikilah apakah fungsi $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$    adalah fungsi satu-satu atau bukan?

a. $f(x) = {x^2} + 2$

jawab
ambil x = -1 dan x = 1. maka

   $f(1) = {1^2} + 2 = 3$

   $f( - 1) = {\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 3$

dengan demikian f (-1) = f (1). Oleh karena terdapat dua anggota di domain yang
memiliki peta yang sama di kodomain, maka fungsi f (x) bukan fungsi satu-satu

b. $f(x) = {x^3} - 1$

jawab
ambil ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$ berakibat

$f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$

   ${x_1}^3 - 1 = {x_2}^3 - 1$

   ${x_1}^3 = {x_2}^3$

   ${x_1}^{} = {x_2}^{}$

karena untuk $f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$ hanya mungkin terjadi bila ${x_1}^{} = {x_2}^{}$ , maka f (x) adalah
fungsi satu-satu.
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } serta B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }. Sebuah fungsi $f:A \to B$ ditentukan oleh fungsi f (x) = 2x - 1.
a. gambarlah fungsi f dengan menggunakan diagram panah
b. Tentukan range dari fungsi f
c. gambarlah grafik fungsi f

jawab

f (x) = 2x - 1 f (1) = 2 . 1 - 1 = 1

f (2) = 2 . 2 - 1 = 3

f (3) = 2 . 3 - 1 = 5

f (4) = 2 . 4 - 1 = 7

a. diagram panah

b. Range = { 1, 3, 5, 7 }

c. grafik fungsi
Diketahui f fungsi linier dengan f (0) = -5 dan f (-2) = -9. Bentuk fungsi f (x) adalah . . .

jawab
suatu fungsi f dikatakan linear bila fungsi tersebut berbentuk f (x) = ax + b. Maka

f (x) = ax + b

* f (0) = a.0 + b = -5 berakibat b = -5

* f (-2) = a . (-2) + b = -9
- 2a + (-5) = -9
- 2a - 5 = -9
- 2a = -9 + 5
- 2a = - 4 berakibat a = 2

dengan demikian f (x) = ax + b = 2x - 5
Suatu fungsi didefinisikan dengan f(x) = px + q. Jika 3 bayangan dari 2 dan -7 bayangan dari -3. Maka bayangan 5 adalah . . .

jawab
karena 3 adalah bayangan dari 2 maka
f(x) = px + q berakibat  f (2) = p . 2 + q = 3
2p + q = 3 .................................... (persamaan 1)

karena -7 adalah bayangan -3 maka   f(x) = px + q berakibat  f (-3) = p . (-3) + q = - 7
-3p + q = - 7 ............................. (persamaan 2)

dengan metode eliminasi q pada persamaan 1 dan 2 diperoleh
5p  = 10 berakibat p = 2

dengan memasukan nilai p =  2 ke persamaan 1 diperoleh
2p + q = 3
2 . 2 + q   = 3
4 + q = 3 berakibat q  = -1

dengan memasukan nilai p = 2 dan  q  = -1 ke persamaan f(x) = px + q
maka   f(x) =   2x - 1
    f(5) =   2 . 5 - 1 = 10 - 1 = 9