Saturday, November 9, 2019

Home / latihan soal / SMA / UN / SOAL HOTS SMA NOVEMBER 2019 (bagian 1)

SOAL HOTS SMA NOVEMBER 2019 (bagian 1)

by doujinindones on November 09, 2019 in latihan soal, SMA, UN

Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 6. Titik P adalah titik tengah TC. Jika $\alpha$    adalah sudut antara AP dengan bidang ABC, maka $\sin \alpha$    = ....

jawab

Perhatikan bahwa prisma TABC adalah prisma beraturan dengan rusuk = 6 cm
dengan demikian panjang AP adalah

$AP = \sqrt {A{T^2} - T{P^2}}$ $= \sqrt {{6^2} - {3^2}}$    $= \sqrt {36 - 9}$ $= 3\sqrt 3$

Perhatikan bahwa TO adalah garis tinggi prisma. AP = CD $= 3\sqrt 3$ dan CO : CD = 2 : 3.
Oleh karena itu CO = $= 2\sqrt 3$ dan TO dapat diperoleh, yakni:

   $TO = \sqrt {T{C^2} - C{O^2}}$    $= \sqrt {{6^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}$ $= \sqrt {36 - 12}$    $= 2\sqrt 6$

Sekarang perhatikan segitig TCD

PX dan TO sejajar, dan CPX sebanding dengan COT. Dengan demikian

   $\frac{{PX}}{{TO}} = \frac{{CP}}{{CT}}$    $\Rightarrow$    $\frac{{PX}}{{2\sqrt 6 }} = \frac{3}{6}$ $= \sqrt 6$

maka $\sin \alpha$ $= \frac{{PX}}{{AP}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{3\sqrt 3 }} = \frac{1}{3}\sqrt 2$
Turunan kedua f (x) adalah f ''(x) = 6x - 2. Jika y = f (x) melalui titik A (1, 6) dan garis singgung y = f (x) dititik A mempunyai gradeien 4, maka f (x) = ...

jawab

$f'\left( x \right) = \int {f''} \left( x \right)dx = \int {\left( {6x - 2} \right)} \,dx = 3{x^2} - 2x + C$

diketahui garis singgung f (x) dititik A (1, 6) memiliki gradien 4, maka

   $f'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} - 2 \cdot 1 + C$

$4\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,C$ berakibat C = 3

maka persamaannya adalah $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 3$

dengan demikian diperoleh:

   $f(x) = \int {f'\left( x \right)} \,dx = \int {\left( {3{x^2} - 2x + 3} \right)} \,dx$ $= {x^3} - {x^2} + 3x + C$

karena f (x) melalui titil A (1, 6) maka

$f(1) = {1^3} - {1^2} + 3 \cdot 1 + C$

   $6\,\,\,\, = \,\,3\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,C$ berakibat C = 3

jadi $f(x) = {x^3} - {x^2} + 3x + 3$
Nilai dari $\frac{{{}^3\log 36 \cdot {}^6\log 81 - {}^4\log 32}}{{{}^9\log 27}}$ adalah ...

jawab

$\frac{{{}^3\log 36 \cdot {}^6\log 81 - {}^4\log 32}}{{{}^9\log 27}}$ $= \frac{{{}^3\log {6^2} \cdot {}^6\log {3^4} - {}^{{2^2}}\log {2^5}}}{{{}^{{3^2}}\log {3^3}}}$ $= \frac{{2{ \cdot ^3}\log 6 \cdot 4{ \cdot ^6}\log 3 - \frac{5}{2}{ \cdot ^2}\log 2}}{{\frac{3}{2}{ \cdot ^3}\log 3}}$

$= \frac{{8{ \cdot ^3}\log 6{ \cdot ^6}\log 3 - \frac{5}{2} \cdot 1}}{{\frac{3}{2} \cdot 1}}$ $= \frac{{8{ \cdot ^3}\log 3 - \frac{5}{2}}}{{\frac{3}{2}}}$ $= \frac{{8 \cdot 1 - \frac{5}{2}}}{{\frac{3}{2}}}$ $= \frac{{8 - \frac{5}{2}}}{{\frac{3}{2}}}$ $= \frac{{11}}{3}$
Jika fungsi $f$ ( $x$ ) = $a$ 2 sin ( $ax$ ) + 10 mempunyai periode $\begin{aligned}\dfrac{\pi}{2}\end{aligned}$ , maka nilai minimum fungsi $f$ adalah ....

Jawab
fungsi periodik adalah fungsi yang memenuhi:   $f(x) = f(x + p)$ dengan p adalah periodiknya.

karena f (x) mempunyai periode $\frac{\pi }{2}$    maka: $f(x) = f(x + \frac{\pi }{2})$ dengan demikian:

$f(x + \frac{\pi }{2}) = {a^2}\sin \left( {a\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 10 = {a^2}\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right) + 10$ dan

$f(x) = {a^2}\sin \left( {ax} \right) + 10$

jadi ${a^2}\sin \left( {ax} \right) + 10 = {a^2}\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right) + 10$

${a^2}\sin \left( {ax} \right) = {a^2}\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right)$

perhatikan bahwa bila a = 0, maka f (x) = 10 dan bukan fungsi periodik. Dengan demikian haruslah $a \ne 0$
kemudian sebagaimana diketahui $\sin x = \sin \left( {x + 2\pi } \right)$ , maka

   dengan $a \ne 0$

$\sin \left( {ax} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\sin \left( {ax + \frac{{a\pi }}{2}} \right)$

$ax + 2\pi = ax + \frac{{a\pi }}{2}$

$2\pi = \frac{{a\pi }}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\,a = 4$

dengan demikian diperoleh

   $f(x) = {4^2}\sin \left( {4x} \right) + 10$

$f(x) = 16\sin \left( {4x} \right) + 10$

karena fungsi $- 1 \le \sin 4x \le 1$ maka nilai minumum dari $f(x) = 16\sin \left( {4x} \right) + 10$

dengan demikian   $16 \cdot \left( { - 1} \right) + 10 \le f(x) \le 16 \cdot 1 + 10$

   $- 6 \le f(x) \le 26$

jadi nilai minimumnya adalah $f(x) = 16\sin \left( {4x} \right) + 10$ =  - 6
Jika nilai maksimum dan nilai minimum fungsi $f$ ( $x$ ) = $a$ cos ( $x$ ) + $b$ berturut-turut adalah 5 dan 1, maka nilai $a$ 2 + $b$ 2 adalah ....

Jawab

karena    $- 1 \le \cos x \le 1$ maka nilai
a.    $f$ ( $x$ ) max terjadi bila $\cos x = 1$ berakibat
   $f(x) = a\cos x + b$
   $5\,\,\,\,\,\, = a \cdot 1 + b$
   $5\,\,\,\,\,\, = a + b$ .................................. persamaan 1

b.   $f$ ( $x$ ) min terkadi bila $\cos x = - 1$
$f(x) = a\cos x + b$
   $1 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b$
$1 = - a + b$   ................................. persamaan 2

dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh b = 3 dan a = 2

dengan demikian   ${a^2} + {b^2} = {2^2} + {3^2} = 13$
Jika $A$ dan $B$ memenuhi $\begin{Bmatrix} \dfrac{A}{A-B}+\dfrac{A}{A+B}=\dfrac{7}{3}\\ \dfrac{2A}{A-B}-\dfrac{3B}{A+B}=3\end{Bmatrix}$ , maka $\begin{aligned}\dfrac{AB}{A^{2}-B^{2}}=....\end{aligned}$

jawab
misalkan $x = \frac{A}{{A - B}}$ dan    $y = \frac{B}{{A + B}}$

maka:   $x + y = \frac{7}{3}$    $\,\left( {\, \times 3} \right)$    $\Rightarrow$    $3x + 3y = 7$ ,................. persamaan 1

$2x - 3y = 3$ $\Rightarrow$    $2x - 3y = 3$ .................. persamaan 2

dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 diperoleh x = 2 dan $y = \frac{1}{3}$

dengan demikian

$x \times y = \frac{A}{{A - B}} \times \frac{B}{{A + B}} = \frac{{AB}}{{{A^2} - {B^2}}}$

$\frac{{AB}}{{{A^2} - {B^2}}} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
Misalkan $x$ dan $y$ memenuhi
$\begin{cases}\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{3}{x-2y}=2\\\dfrac{4}{x+y}-\dfrac{1}{x-2y}=-3\end{cases}$
maka $x^2-xy-2y^2$ = ....

jawab

misalkan $A = \frac{1}{{x + y}}$ dan $B = \frac{1}{{x - 2y}}$

maka   $2A + 3B = 2$ $\Rightarrow$     $2A + 3B = 2$ ....................persamaan 1

   $4A - B = - 3$ $\times 3$    $\Rightarrow$    $12A - 3B = - 9$ .................. persamaan 2

dengan mengeliminasi persamaan 1 dan 2 maka diperoleh   $A = - \frac{1}{2}$ dan B = 1

dengan demikian

$\frac{1}{A} \times \frac{1}{B} = \left( {x + y} \right)\left( {x - 2y} \right) = {x^2} - xy - 2{y^2}$

${x^2} - xy - 2{y^2} = - 2 \times \frac{1}{1} = - 2$
Salah satu akar persamaan kuadrat $\left( {a - 2} \right){x^2} + \left( {a - 6} \right)x - \left( {a + 7} \right) = 0$   adalah 5. Maka akar-akar yang lainnya adalah ...

jawab
${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}$ $\Rightarrow$ $5 + {x_2} = - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}$ ............. persamaan 1

${x_1} \times {x_2} = \frac{c}{a}$ $\Rightarrow$     $5 \times {x_2} = - \frac{{a + 7}}{{a - 2}}$    $\Rightarrow$ ${x_2} = - \frac{{a + 7}}{{5\left( {a - 2} \right)}}$    ............. persamaan 2

subtutusikan persamaan 2 ke persamaan 1

   $5 + {x_2} = - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}$    $\Rightarrow$ $5 + \left( { - \frac{{a + 7}}{{5\left( {a - 2} \right)}}} \right) = - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}$

$\frac{{25\left( {a - 2} \right) - \left( {a + 7} \right)}}{{5\left( {a - 2} \right)}} = - \frac{{a - 6}}{{a - 2}}$

$25a - 50 - a - 7 = - 5a + 30$

$24a - 57 = - 5a + 30$

   $29a = 87$ $\Rightarrow$    $a = \frac{{87}}{{29}} = 3$

subtitusikan nilai a = 3 ke persamaan 2

   ${x_2} = - \frac{{a + 7}}{{5\left( {a - 2} \right)}} = - \frac{{3 + 7}}{{5\left( {3 - 2} \right)}} = - \frac{{10}}{5} = - 2$
Hasil dari ${\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\sqrt {x - 2} - 2}}{{\sqrt {2x - 3} - 3}}$ adalah ...

Jawab

${\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\sqrt {x - 2} - 2}}{{\sqrt {2x - 3} - 3}}$ $= {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{2}{{\left( {x - 2} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}$ $= {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{2}{{\left( {6 - 2} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}{{{{\left( {2 \cdot 6 - 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}$ $= {\lim }\limits_{x \to 6} \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{4}$
Jika nilai $\frac{{a - b}}{c} = \frac{{b + c}}{a} = \frac{{a - c}}{b}$   , maka nilai   $\frac{a}{{a + b + c}} = ...$

jawab

dengan menjumlahkan persamaan 1, 2 dan 3 diperoleh

   $2{a^2} - {b^2} - ac = 2bc + ac + {b^2}$
$2{a^2} - 2{b^2} = 2bc + 2ac$
${a^2} - {b^2} = bc + ac$
$\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = c\left( {a + b} \right)$
$\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) - c\left( {a + b} \right) = 0$
$\left( {a - b - c} \right)\left( {a + b} \right) = 0$     ....................................... persamaan 4

dari persamaan 4, maka jelas ada 2 kemungkinan

* a = b + c
untuk kemungkinan ini, jelas   $\frac{a}{{a + b + c}} =$ $\frac{a}{{a + a}} =$    $\frac{1}{2}$

* a = - b
untuk kemungkinan ini perhatikan persamaan 2

   $ab - {b^2} = ac - {a^2}$

   $( - b) \cdot b - {b^2} = ( - b) \cdot c - {( - b)^2}$

   $- 2{b^2} = - bc - {b^2}$

   ${b^2} - 2{b^2} = - bc - {b^2}$

   $- {b^2} = - bc$

   ${b^2} - bc = 0$

$(b - c)b = 0$

dengan asumsi bahwa $b \ne 0$ maka b - c = 0 berakibat b = c
dengan demikian:

$\frac{a}{{a + b + c}} = \frac{a}{{a + b + b}} = \frac{a}{{a + 2b}} = \frac{a}{{a - 2a}} = - 1$
Nilai x yang memenuhi persamaan ${}^x\log (x + 12) - 3 \cdot {}^x\log 4 - 1 = 0$ adalah ...

jawab

   ${}^x\log (x + 12) - 3 \cdot {}^x\log 4 - 1 = 0$

${}^x\log (x + 12) - {}^x\log {4^x} + {}^x\log x = {}^x\log 1$

${}^x\log \frac{{(x + 12)x}}{{64}} = {}^x\log 1$

   $\frac{{(x + 12)x}}{{64}} = 1$

   ${x^2} + 12x = 64$

${x^2} + 12x - 64 = 0$

$x = - 16$ atau $x = 4$

perhatikan, untuk ${}^x\log a$ maka x > 0. Dengan demikian nilai x yang memenuhi adalah x = 4

Copyright © Campur Campur

About / Contact / Disclaimer / Privacy Policy / Sitemap / Partner