SOAL HOTS SMA November 2019 (bagian 2)

Bila diketahui ${\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{ax + b - \sqrt x }}{{x - 4}} = \frac{3}{4}$ , maka a + b = ...

jawab
untuk x = 4, bila $\frac{{f(4)}}{{g(4)}} = \frac{0}{0}$ maka
.
${4a + b - \sqrt 4 = 0}$    ${ \Rightarrow \,\,\,4a + b - 2 = 0}$
berakibat 4a + b = 2 ...... persamaan 1

Dengan dalil D'Hospital diperoleh

   ${\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {a - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) = \frac{3}{4}$

   $\Rightarrow {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {a - \frac{1}{{2\sqrt 4 }}} \right) = {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {a - \frac{1}{{2\sqrt 4 }}} \right)$ $= \frac{3}{4}$

   $\Rightarrow {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {a - \frac{1}{{2 \cdot 2}}} \right) = {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {a - \frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}$

   $\Rightarrow a - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ berakibat a = 1

dengan mensubtitusikan nilai a  ke persamaan 1, diperoleh b = -2
dengan demikian:

a + b = 1 + (-2) = -1
Luas daerah diantara kurva y = 2a + 1 dan kurva $y = {x^2} + 2a$ selalu bernilai konstan yaitu k. Maka nilai k = ....

jawab

Daerah yang dibatasi kurva y = 2a + 1 dan $y = {x^2} + 2a$ ditunjukan sebagai berikut:

dengan demikian luas daerah yang dibatasi kurva $y = {x^2} + 2a$ adalah

$\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\left( {2a + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2a} \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {1 - {x^2}} \right]dx = \left. {x - \frac{1}{3}{x^3}} \right]} _{ - 1}^1$

$= \left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \left( {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{3}} \right)} \right)$

$= 2 - \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \right) = 1\frac{1}{3}$
Diketahui fungsi f (x) = f (x + 2) untuk setiap x. Jika   $\int\limits_0^2 {f(x)} = B$ maka $\int\limits_3^7 {f(x + 8)} \,dx = ...$

jawab

misalkan $\int\limits_0^1 {f(x)} \,dx = A$ ........................................................................... persamaan 1

maka diperoleh

   $\int\limits_0^2 {f(x)} \,dx = \int\limits_0^1 {f(x)} \,dx + \int\limits_1^2 {f(x)} \,dx$

  B = A    $+ \int\limits_1^2 {f(x)} \,dx$

$\int\limits_1^2 {f(x)} \,dx = B - A$ ..................................................... persamaan 2

karena f (x) = f (x + 2) untuk setiap x, maka berlaku

$\int {f(x + 8)} \,dx = \int {f(x + 6)} \,dx = \int {f(x + 4)} \,dx = \int {f(x + 2)} \,dx$ $= \int {f(x)} \,dx$

........................................................................................................................... persamaan 3

dengan demikian

$\int\limits_3^7 {f(x + 8)} \,dx = \int\limits_3^4 {f(x + 8)} \,dx + \int\limits_4^6 {f(x + 8)} \,dx + \int\limits_6^7 {f(x + 8)} \,dx$

berdasarkan persamaan 3 diperoleh

$\int\limits_3^7 {f(x + 8)} \,dx$ $= \int\limits_3^4 {f(x)} \,dx + \int\limits_4^6 {f(x)} \,dx + \int\limits_6^7 {f(x)} \,dx$

* untuk   $\int\limits_3^4 {f(x)} \,dx$

   misalkan x = u + 2 dan   du = dx
bila x = 3 maka u = 1
  x = 4 maka u = 2

dengan melihat persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh

   $\int\limits_3^4 {f(x)} \,dx = \int\limits_1^2 {f(u + 2)} \,du$ $= \int\limits_1^2 {f(u)} \,du = B - A$

* untuk $\int\limits_4^6 {f(x)} \,dx$

misalkan x = u + 4 dan   du = dx
bila x = 4 maka u = 0
  x = 6 maka u = 2

dengan melihat persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh

$\int\limits_4^6 {f(x)} \,dx = \int\limits_0^2 {f(u + 4)} \,du = \int\limits_0^2 {f(u + 2)} \,du = \int\limits_0^2 {f(u)} \,du$ = B

* untuk   $\int\limits_6^7 {f(x)} \,dx$

misalkan x = u + 6 dan   du = dx
bila x = 6 maka u = 0
  x = 7 maka u = 1

dengan melihat persamaan 2 dan persamaan 3 diperoleh

   $\int\limits_6^7 {f(x)} \,dx = \int\limits_0^1 {f(u + 6)} \,du = \int\limits_0^1 {f(u + 4)} \,du = \int\limits_0^1 {f(u + 2)} \,du$

$= \int\limits_0^1 {f(u)} \,du = A$

dengan demikian

   $\int\limits_3^7 {f(x + 8)} \,dx$    $= \int\limits_3^4 {f(x)} \,dx + \int\limits_4^6 {f(x)} \,dx + \int\limits_6^7 {f(x)} \,dx$

= B - A + B + A

= 2 B
Misalkan daerah D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, garis y = 4 dan $y = {x^2}$ . Jika garis y = k membagi 2 daerah D sama besar maka, ${k^3} = ...$

jawab
daerah D dapat ditunjukan melalui grafik berikut

maka luas daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, garis y = 4 dan   $y = {x^2}$ adalah

Luas D = $\int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)} \,dx = \left[ {4x - \frac{1}{3}{x^3}} \right]_0^2 =$ $\left( {4 \cdot 2 - 4 \cdot 0} \right) - \left( {\frac{1}{3} \cdot {2^3} - \frac{1}{3} \cdot {0^3}} \right)$

$= 8 - \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3}$

garis y = k membagi dua luas daerah D. maka batas interval 0 < k < 4 dengan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = k , sumbu Y, dan $y = {x^2}$ adalah

Luas daerah $= \int\limits_0^k {\sqrt y } \,dy$

   $\frac{8}{3}$    $= \left[ {\frac{2}{3}{y^{^{\frac{3}{2}}}}} \right]_0^k$

$\frac{8}{3}$ $= \frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$

berakibat    ${k^{\frac{3}{2}}} = 4$ atau   ${k^3} = 16$
Diketahui $f(x) = {x^k}$ dan g(x) = x. Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva g, sumbu X dan x = 1. Kurva f membagi daerah D menjadi dua daerah D1 dan D2 dengan perbandingan luas 1 : 2. Jika D1 adalah daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g, maka k = ...

jawab
gambar daerah yang dibatasi oleh kurva g, sumbu X dan x = 1 ditunjukan di bawah ini

perhatikan, titik potong kurva y = x dan $f(x) = {x^k}$ adalah (0,0) dan (1,1) dan f (x) membagi D bila k > 0.

maka

   $\int\limits_0^1 {\left( {x - {x^k}} \right)} \,dx\,\,\,\,:\,\,\,\,\int\limits_0^1 {{x^k}} \,dx = \,\,\,\,1\,\,\,:\,\,\,\,2$    $\Rightarrow$    $\int\limits_0^1 {{x^k}} \,dx = 2\int\limits_0^1 {\left( {x - {x^k}} \right)} \,dx$

$\Rightarrow$ $3\int\limits_0^1 {{x^k}} \,dx = 2\int\limits_0^1 x \,dx$

   $\Rightarrow$ $\int\limits_0^1 {{x^k}} \,dx = \frac{2}{3}\int\limits_0^1 x \,dx$

   $\Rightarrow$ $\left[ {\frac{1}{{k + 1}}{x^{k + 1}}} \right]_0^1 = \left[ {\frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right]_0^1$

$\Rightarrow$ $\frac{1}{{k + 1}}\left( {{1^{k + 1}} - {0^{k + 1}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {{1^2} - {0^2}} \right)$

   $\Rightarrow$ $\frac{1}{{k + 1}} = \frac{1}{3}$

   $\Rightarrow$ $k + 1 = 3$

   $\Rightarrow$ $k = 2$
Diketahui    $1 - \sqrt 2$    adalah salah satu akar-akar dari persamaan ${x^2} + ax + b = 0$ . Bila b adalah bilangan bulat posiif dan a adalah bilangan bulat, maka nilai terkecil a adalah ,,,

jawab
misalkan ${x_1} = 1 - \sqrt 2$
perhatikan bahwa $\sqrt 2 \approx 1,4$ maka ${x_1} < 0$

*   ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}$

   $\left( {1 - \sqrt 2 } \right) + {x_2} = - a$ $\Rightarrow \,\,\,{x_2} = \sqrt 2 - 1 - a$ ............................... persamaan 1

* ${x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a}$

   $\left( {1 - \sqrt 2 } \right) \cdot {x_2} = b$

perhatikan karena ${x_1} < 0$ dan b adalah bilangan positif, maka ${x_2} < 0$
  dengan demikian dari persamaan 1 diperoleh

${x_2} = \sqrt 2 - 1 - a < 0$ berakibat    $a > \sqrt 2 - 1$

karena $\sqrt 2 \approx 1,4$ maka $a > 1,4 - 1$
  a > 0,4

karena a adalah bilangan bulat, maka nilai terkecil a adalah a = 1.
Misalkan dua persamaan kuadrat mempunyai satu akar yang sama, yaitu 2 dan akar-akar yang lainnya berkebalikan. Jika salah satu persamaan tersebut adalah ${x^2} - ax + 6 = 0$ . Maka persamaan kuadrat yang lainnya adalah ...

jawab
misalkan ${x_1} = 2$
karena akar-akar lainya berkebalikan maka akar-akar lainnya itu $= \frac{1}{{{x_2}}}$
dengan demikian untuk persamaan ${x^2} - ax + 6 = 0$ , diperoleh

* ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}$    $\Rightarrow$ $2 + {x_2} = a$

$\Rightarrow$    ${x_2} = a - 2$ ......................................... persamaan 1

* ${x_1} \times {x_2} = \frac{c}{a}$ $\Rightarrow$    $2 \times {x_2} = 6$

$\Rightarrow$    ${x_2} = 3$ ......................................... persamaan 2

maka dari persamaan 1 diperoleh a = 5 dan untuk ${x^2} - ax + 6 = 0$ berakibat persamaan menjadi   ${x^2} - 5x + 6 = 0$

dan persamaan kuadrat lain yang akar-akarnya 2 dan   $\frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{3}$ adalah

   $\left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right) = 0$ $\Rightarrow$    ${{x^2} - 2x - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}$ = 0

$\Rightarrow$    ${{x^2} - \frac{7}{3}x + \frac{2}{3} = 0}$

   $\Rightarrow$ ${3{x^2} - 7x + 2 = 0}$
Misalkan ${A^{2x}} = 2$ , maka $\frac{{{A^{5x}} - {A^{ - 5x}}}}{{{A^{3x}} + {A^{ - 3x}}}} = ...$

jawab
misalkan ${A^x} = m$ , maka ${A^{2x}} = {\left( {{A^x}} \right)^2} = {m^2}$ = 2

maka
$\frac{{{A^{5x}} - {A^{ - 5x}}}}{{{A^{3x}} + {A^{ - 3x}}}}$ $= \frac{{{{\left( {{A^x}} \right)}^5} - {{\left( {{A^x}} \right)}^{ - 5}}}}{{{{\left( {{A^x}} \right)}^3} + {{\left( {{A^x}} \right)}^{ - 3}}}}$ $= \frac{{{m^5} - {m^{ - 5}}}}{{{m^3} + {m^{ - 3}}}} = \frac{{\frac{{{m^{10}} - 1}}{{{m^5}}}}}{{\frac{{{m^6} + 1}}{{{m^3}}}}}$ $= \frac{1}{{{m^2}}} \times \frac{{{m^{10}} - 1}}{{{m^6} + 1}}$ $= \frac{1}{{{m^2}}} \times \frac{{{{\left( {{m^2}} \right)}^5} - 1}}{{{{\left( {{m^2}} \right)}^3} + 1}}$

$= \frac{1}{2} \times \frac{{{2^5} - 1}}{{{2^3} + 1}}$ $= \frac{1}{2} \times \frac{{31}}{9}$ $= \frac{{31}}{{18}}$
Diketahui barisan $\left\{ {{a_n}} \right\}$ dan $\left\{ {{b_n}} \right\}$ adalah barisan aritmatika dimana untuk $\left\{ {{a_1},\,{a_2},...\,,{a_{100}}} \right\}$ nilai   ${{a_1} = 5,\,{a_2} = 8}$ dan untuk ${{b_1},\,{b_2},...\,,{b_{100}}}$ nilai ${b_1} = 3,\,\,{b_2} = 7$   . Ada berapa banyak bilangan yang memenuhi   ${\left\{ {{a_n}} \right\} \cap \,\left\{ {{b_n}} \right\}}$ ?

jawab
* untuk barisan $\left\{ {{a_n}} \right\}$ , maka b = 3 dan ${{a_{100}} = a + (100 - 1)b}$ ${ = 5 + (99)3}$ ${ = 5 + 297}$ = 302
dengan demikian
${{a_1} = 5,\,{a_2} = 8}$ , ${{a_3} = 11}$ , ${{a_4} = 14,}$    ${{a_5} = 17,\,{a_6} = 20,\,{a_7} = 23,\,\,...\,,{a_{100}} = 302}$

* untuk barisan $\left\{ {{b_n}} \right\}$ , maka b = 4 dan   ${b_{100}} = a + (100 - 1)b = 3 + 99 \cdot 4 = 3 + 396 = 399$
dengan demikian
${b_1} = 3,\,\,{b_2} = 7$ , ${{b_3} = 11,}$    ${{b_4} = 15,\,{b_5} = 19,\,{b_6} = 23,\,{b_7} = 27,\,\,...\,,{b_{100}} = 399}$

* perhatikan bahwa untuk suatu barisan dengan ketentuan $\left\{ {{c_n}} \right\} =$    ${\left\{ {{a_n}} \right\} \cap \,\left\{ {{b_n}} \right\}}$ ,
maka barisan tersebut adalah
   ${{c_1} = 11,}$ ${{c_2} = 23,\,{c_3} = 35,\,\,...\,,{c_n} \le 302}$
dimana a = 11 dan b = 12
dengan demikian
   ${c_n} = a + (n - 1)b$
$302 = 11 + (n - 1) \cdot 12$    $\Rightarrow$    $302 = 11 + 12n - \cdot 12$
$\Rightarrow$     $302 = 12n - \cdot 1$
$\Rightarrow$ $12n = 303$

$\Rightarrow$    $n = \frac{{303}}{{12}} = 25\frac{1}{4} \approx 25$

jadi ada 25 bilangan yang memenuhi ${\left\{ {{a_n}} \right\} \cap \,\left\{ {{b_n}} \right\}}$